《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第六章_10-8 [兼容模式] [修复的]

第八节二阶常系数线性差分方程一、二阶常系数齐次线性差分方程的求解二、二阶常系数非齐次线性差分方程的求解三、小结

一、二阶常系数齐次线性差分方程的求解 二、二阶常系数非齐次线性差分方程的求解 第八节二阶常系数线性差分方程 三、小结

1.定义形如yx+2 + ayx+1 + byx = f(x)(其中a,b≠0均为常数，f(x)为已知函数）的差分方程，称为二阶常系数线性差分方程f(x)≠0时称为非齐次的，否则 称为齐次的。Jx+2+ayx+1+by×=0称为相应的齐次方程2.解的结构定理二阶常系数线性差分方程的通解等于对应齐次方程的通解加上非齐次方程的一个特解.即yx=+y

1.定义 ( ) 形如yx2  ayx1  byx  f x (其中 a, b  0均为常数， f ( x)为已知函数 ) 的差分方程，称为二阶 常系数线性差分方程． f ( x)  0时称为非齐次的，否则 称为齐次的． y x  2  ay x 1  by x  0称为相应的齐次方程． 2.解的结构定理 二阶常系数线性差分方程的通解 等于对应齐次方程的通解加上非齐次方程的一个 特解.即 .  x  x  x y y y

一、二阶常系数齐次线性差分方程的求解设Y=(≠0)为对应齐次方程一个解，代入得2*+2 +a2*+1 + b2* = 0即?+aa+b=0此方程称为对应齐次方程的特征方程,其根-a+a2-4ba-Va2-4b=二2 =22称为相应方程的特征根。现根据α24b的符号来确定其通解形式

一 、二阶常系数齐次线性差分方程的求解 设Yx   x (  0)为对应齐次方程一个解 ，代入得 0 2 1    x x x  a b 0 2 即  a  b  此方程称为对应齐次方 程的特征方程 ,其根 2 4 , 2 4 2 2 2 1 a a b  a  a  b        称为相应方程的特征根 . 4 . 现根据a 2  b的符号来确定其通解形 式

(1)第一种情形α2>4b时有两个相异的实特征根,与，此时的通解具有如下形式：J=A+A,,（A,A,为任意常数）α2 = 4b时(2)第二种情形a此时方程有两个相等的实特 征根,= ，=-2的通解具有如下形式：x=(A +A,x)(-=)*(A,A,为任意常数)

如下形式： 有两个相异的实特征根 1与 2，此时的通解具有 ( , ) y A1 1 A2 2 A1 A2为任意常数 x x x     (2)第二种情形 a 2  4b时 的通解具有如下形式： 方程有两个相等的实特 征根 ，此时 2 1 2 a      ) ( , ) 2 ( )( 1 2 A1 A2为任意常数 a y A A x x x    (1)第一种情形 a 2  4b时

(3)第三种情形 α2<4b时方程有一对共轭的复特 征根,1a+i/4b-a?=α+iβ221/4b-a2=α-iβA2把它们化为三角表示式：/4b-a2βr=/α+β?= b,tanaα则α=rcos,β=rsin

(3)第三种情形 a 2  4b时 方程有一对共轭的复特 征根,       a i b a i a i b a i             2 2 2 1 4 2 1 4 2 1 把它们化为三角表示式 ： a b a r b 2 2 2 4 , tan             则  r cos ,   rsin

:. 2, =r(cosθ+isin0),2, = r(cos-isin0). yx() = a*= r*(cos +isin0)= 2,*=r*(cosQ-isin0)都是对应齐次方程的特解．可以证明12)及2i2也都是特解．故可得具有以下形式的通解：Jx = r*(A, cos x + A, sin x)(Ai,A,是任意常数

(cos sin ), (cos sin ) 1  r   i  2  r   i  (cos sin ) (cos sin ) 2 (2) 1 (1)       y r i y r i x x x x x x        都是对应齐次方程的特解．可以证明 ( ) 2 1 ( ) 2 1 (1) (2) (1) (2) x x x x y y i y  y 及  也都是特解．故可得具 有以下形式的通解： ( , ) ( cos sin ) 1 2 1 2 A A 是任意常数 y r A x A x x x    

二、二阶常系数非齐次线性差分方程的求解二阶常系数非齐次线性差分方程的通解由两项的和组成：一项是该方程的一个特解y，另一项是对应的齐次差分方程的通解Yx即差分方程（2）的通解为yx=Y+J

二、二阶常系数非齐次线性差分方程的求解 . x x Y y 另一项是对应的齐次差 分方程的通解 一项是该方程的一个特 解 ， 的和组成： 二阶常系数非齐次线性 差分方程的通解由两项  2 .  x  x  x 即差分方程（ ）的通解为y Y y

(1)f(x)=c(c为常数),即方程为Yx+2 + ayx+1 + byx = c可设其特解形式为y* = kxsi)当1+a+b±0时，取s=0，即y=k,代入原方程得ck=1+a+bc：.所求特解y.=1+a+b

(1) f (x)  c(c为常数),即方程为 y ay by c x2  x1  x  . s y x  kx 可设其特解形式为  i)当1 a  b  0时，取s  0，即y  x  k,代入原方程得 a b c k    1 a b c y x      1 所求特解

i)当1+a+b=0且a≠-2时,取s=1,即y*= kx,c代入原方程得k :2+acx：此时有特解y2+aii)当1+a+b=0且a=-2时，取s=2，即y*=kx27cx：此时有特解2

a c k   2 a cx y x     2 此时有特解 iii)当1  a  b  0且a  2时，取s  2，即y  x  kx 2 ， 2 2 1 yx  cx  ii)当1 a  b  0且a  2时,取s  1,即y  x  kx， 代入原方程得 此时有特解

例1求差分方程Jx+2 +yx+1-2yx=12的通解及y。=0,=0的特解。解　+２=0即(α +2)(α-1) = 0解得, =-2, =1: Jx = A(-2)* + A,:1+a+b=1+1-2=0,但a=1±-212x4x1+2

解 2 0 2      即(  2)( 1)  0 2, 1 解得1   2  1 2 y A ( 2) A x  x    1 a  b  1 1 2  0,但a  1  2, x x yx 4 1 2 12     