《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第六章_10-1微分方程概念

第一节微分方程的基本概念问题的提出一、二、微分方程的定义三、主要问题一求方程的解四、小结思考题

一、问题的提出 二、微分方程的定义 三、主要问题—求方程的解 四、小结 思考题 第一节 微分方程的基本概念

一、问题的提出例 1 一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点M(x,V)处的切线斜率为2x,求这曲线的方程解设所求曲线为 = (x)，由题有dy =2x且满足：当x=1时,y=2dx积分，得 ={2xdx即y=x2+C，求得C=l,所以，所求曲线方程为y=x2+1

例 1 一曲线通过点 (1,2),且在该曲线上任一点 M( x, y)处的切线斜率为2x,求这曲线的方程. 解 设所求曲线为 y  y(x), d 2 d y x x  y  2xdx 积分，得  当 x  1时, y  2 , 2 即 y  x  C 求得C  1, 1 . 2 所以，所求曲线方程为 y  x  一 、问题的提出 由题有 且满足：

例2列车在平直的线路上以20米/秒的速度行驶当制动时列车获得加速度一0.4米/秒2，问开始制动后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内行驶了多少路程？解设制动后 t秒钟行驶 s米,s=s(t)d’sds= 20,-0.4t =0, s=0,v==dt?dtds: -0.4t +Cs = -0.2t2 +C,t +CV=dt

例 2 列车在平直的线路上以 20 米/秒的速度行驶, 当制动时列车获得加速度 0.4米/秒 2 ,问开始制动 后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内 行驶了多少路程？ 解 设制动后 t 秒钟行驶 s 米, s  s(t) 2 2 d 0.4 d s t   d 0, 0, 20, d s t s v t     1 d 0.4 d s v t C t     1 2 2 s  0.2t  C t  C

代入条件后知Ci = 20, C, = 0ds-0.4t + 20,Vdt故 s = -0.2t2 + 20t,20开始制动到列车完全停住共需50(秒),0.4列车在这段时间内行驶了s = -0.2×502 + 20 ×50 = 500(米)

代入条件后知 C1  20, C2  0 0.2 20 , 2 s   t  t d 0.4 20, d s v t t     故 50( ), 0.4 20 t   秒 列车在这段时间内行驶了 0.2 50 20 50 500( ). s    2    米 开始制动到列车完全停住共需

微分方程的定义二、微分方程：凡含有未知函数的导数或微分的方程叫做微分方程例y'=xy,y"+2y-3y:eaz(t? + x)dt + xdx = 0:x+y,1ax实质：联系自变量，未知函数以及未知函数的某些导数（或微分）之间的关系式

微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程， 叫做微分方程. 例 y  xy, 2 (t  x)dt  xdx  0, 2 3 , x y  y  y  e x y, x z     实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的 某些导数(或微分)之间的关系式. 二、微分方程的定义

分类1：常微分方程，偏微分方程微分方程的阶：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数分类2：一阶微分方程F(x,y,y)=0, y'= f(x,y);高阶微分方程F(x,y, y',..", y(n)) = 0,y(n) = f(x,y,y,.., y(n-i

微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数. 分类1: 常微分方程, 偏微分方程. 一阶微分方程 F(x, y, y)  0, y  f (x, y); 高阶微分方程 ( , , , , ) 0, ( )   n F x y y  y ( , , , , ). ( ) ( 1)   n n y f x y y  y 分类2:

分类3：线性微分方程y' + P(x)y = Q(x). x(y)2 -2yy'+x = 0;非线性微分方程.分类4：卓单个微分方程与微分方程组dy=3y-2z,dxdz= 2y-z,dx

分类3: y  P(x) y  Q(x), ( ) 2 0; 2 x y  yy  x  分类4: 单个微分方程与微分方程组. d 3 2 , d d 2 , d y y z x z y z x          非线性微分方程. 线性微分方程

三、主要问题一一一求方程的解微分方程的解：代入微分方程能使方程成为恒等式的函数设y=(x)在区间 I 上有 n阶导数，满足F(x,P(x),Φ'(x),.,Φ(" (x)) = 0.则称 =甲(x)为微分方程在区间 I上的解。微分方程的解的分类：(1)通解：微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同

微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式 的函数. ( , ( ), ( ), , ( )) . ( ) F x x  x x  0 n     微分方程的解的分类： 三、主要问题-求方程的解 (1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任 意常数的个数与微分方程的阶数相同. 设y  (x)在区间 I 上有 n 阶导数, 满足 则称 y  ( x)为微分方程在区间 I 上的解

例如y'= y，通解 y=Ce*;y"+ y= O, 通解 y=C sinx+C, cosx;(2)特解：确定了通解中任意常数以后的解解的图像：微分方程的积分曲线通解的图像：积分曲线族初始条件：用来确定任意常数的条件

(2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解. 例如 y  y, ; x 通解 y  Ce y  y  0, sin cos ; 1 2 通解 y  C x  C x 解的图像: 微分方程的积分曲线. 通解的图像: 积分曲线族. 初始条件: 用来确定任意常数的条件

初值问题：求微分方程满足初始条件的特解的问题y'= f(x,y)一阶：过定点的积分曲线：Jix=x = yoy"= f(x,y, y')二阶:Jix=xo = Jo, Jix=x, = %过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线

过定点的积分曲线;        0 0 ( , ) y y y f x y x x 一阶: 二阶:            0  0 0 0 , ( , , ) y y y y y f x y y x x x x 过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线. 初值问题:求微分方程满足初始条件的特解的问题