《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第六章_10-9 [兼容模式] [修复的]

第九节差分方程的简单经济应用差分方程的简单经济应用一、二、小结

一、差分方程的简单经济应用 二、小结 第九节 差分方程的简单经济应用

一、差分方程的简单经济应用差分方程在经济领域的应用十分广泛，下面从具体的实例体会其应用的场合和应用的方法例一：(存款模型)设S,为t年存款总额，r为年利率，设St+1= S,+rS，且初始存款额为 S，求t年末的本利和。解St+1 = S, +rS,即St+1 -(1+ r)s, = 0

一、差分方程的简单经济应用 差分方程在经济领域的应用十分广泛，下面从 具体的实例体会其应用的场合和应用的方法.   . 1 0 本利和 设 ，且初始存款额为 ，求 年末的 例一：存款模型 设 为 年存款总额， 为年利率， S S rS S t S t r t t t t    解 t t t S 1  S  rS 即 St1  1 rSt  0

这是一个一阶常系数线性齐次差分方程：为 -(1+r)=0,特征方程为特征方程的根为寸 a=1+r，寸 S,=C(1+r)于是齐次方程的通解为代入初始条件，得C=S。S, =S,(1+r).因此，年末的本利和为这就是一笔本金S.存入银行后，年利率为 r，按年复利计息，t年末的本利和

特征方程为   1 r  0， 特征方程的根为   1 r， 这是一个一阶常系数线 性齐次差分方程 . 于是齐次方程的通解为   t t S  C 1 r 代入初始条件，得C  S0 因此，t年末的本利和为 1  . 0 t t S  S  r . 0 按年复利计息， 年末的本利和 这就是一笔本金 存入银行后，年利率为 ， t S r

例2设P,S,和D,分别为某种商品在时刻的价格、供给量和需求量，这里t且取离散值，例如t =0,1,2,3，，由于时刻的供给量 S,决定于时刻的价格，且价格越高，供给量越大，因此常用的线性模型为S, =-c+ dP,同样的分析可得D, =a-bP这里a，b，c，d均为正常数

. 0 1 2 3 2 , 这里 ， ， ， 均为正常数 同样的分析可得 ， 常用的线性模型为 时刻的价格，且价格越 高，供给量越大，因此 例如 ， ，由于 时刻的供给量 决定于 供给量和需求量，这里 且取离散值， 例 设 和 分别为某种商品在 时刻的价格、 a b c d D a bP S c dP t t t S t P S D t t t t t t t t t       

实际情况告诉我们时期的价格P由t-1时期的价格P_,与供给量与需求量之差 St-1-Dt-1，按下述关系P, = Pr-1 - a(St-1 - D,-)而确定（其中为常数）1.求供需相等时的价格P（均衡价格）2.求商品的价格随时间的变化规律

  . 1 1 1 1 1 1 1 而确定（其中 为常数） 与需求量之差 ，按下述关系 时期的价格 由 时期的价格 与供给量 实际情况告诉我们，              t t t t t t t t P P S D S D t P t P 2. . 1. ( 求商品的价格随时间的 变化规律 求供需相等时的价格Pe 均衡价格）；

a+c解 1.由D,= S,可得，P。b+d2.由题意可得P, = P-1 - a(St-1 - Dt-1)= P-1 - a(- a + bPr-1 -(c - dPr-I)即P, -(1-ba-da)P- = a(a+c)这是一个一阶常系数线性非齐次差分方程，其齐次方程的通解为

解 由 可得， ； b d a c Dt St Pe   1.     1 1 1 2. Pt  Pt   St  Dt 由题意可得     t1    t1   t1 P  a bP c dP P  b d P a c 即 t  1    t1    这是一个一阶常系数线 性非齐次差分方程 . 其齐次方程的通解为

P =c(1-ba-da)原方程的一个特解为a+cP*Pb+d原方程的通解为P, = C(1-ba-da) + P,由于初始条件P一般已知，故由P=C+P可得C=P-P,从而, P,=(P - P)1-ba-da) + Pe

  t t P  C 1 b  d 原方程的一个特解为 t Pe b d a c P      原方程的通解为   e t Pt  C 1 b  d  P 可得 ， 由于初始条件 一般已知，故由 e e C P P P P C P     0 0 0  1  . 0 e t 从而，Pt  P  Pe  b  d  P

例3在农业生产中，种植先于产出及产品出售一个适当的时期，时期该产品的价格P决定着生产者在下一时期愿意提供给市场的产量 St1'还决定着本时期该产品的需求量D，因此有D,=a-bP, S, = -c+dP,-1(其中a，b，c，d均为正常数)假设每一时期的价格总是确定在市场售清的水平上，即S,=D,1.求价格随时间变动的规律；2.讨论市场价格的种种变化趋势

其中 ， ， ， 均为正常数  ， 还决定着本时期该产品 的需求量 ，因此有 生产者在下一时期愿意 提供给市场的产量 ， 一个适当的时期， 时期该产品的价格 决定着 例 在农业生产中，种植先 于产出及产品出售 a b c d D a bP S c dP D S t P t t t t t t t 1 1 3        . 的水平上，即St  Dt 假设每一时期的价格总是确定在市场售清 2. . 1. 讨论市场价格的种种变 化趋势 求价格随时间变动的规 律；

解 1.由S,= D,可得,-c+dP,-1 =a-bP,即bP, + dP-1 = a+ cda+c即P,+=Pbb这是一个一阶常系数线性非齐次差分方程。其齐次方程的通解为P,=Cba+cP原方程的一个特解为b+da+c原方程的通解为Db+d

解 t t dPt a bPt 1.由S  D 可得， c  1   这是一个一阶常系数线 性非齐次差分方程 . 其齐次方程的通解为 bP dP a c 即 t  t1   b a c P b d Pt t  即  1  t t b d P C         原方程的一个特解为 b d a c Pt     原方程的通解为 . b d a c b d P C t t           

a+c由于初始条件P一般已知，故由P=Cb+da+c可得C= P。b+da+ca+P从而P=b+db+d2.分析市场趋向的种种形态a+cDP<1lim Pb+dt→+80a+c这说明市场价格趋于平衡，且特解P*b+d是一个平衡价格：

可得 ， 由于初始条件 一般已知，故由 b d a c C P b d a c P P C         0 0 0 . 0 b d a c b d b d a c P P t t                   从而   2.分析市场趋向的种种形 态 1  1 b d      t  t t P b d a c lim P 是一个平衡价格 . 这说明市场价格趋于平 衡，且特解 b d a c Pt    