《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第二章课件_第二章第一节

第二章第一节导数概念一、 引例二、导数的定义三、导数的几何意义四、可导与连续的关系HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页返回结束下页

一、引例 二、导数的定义 四、可导与连续的关系 三、导数的几何意义 第一节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数概念 第二章

一、 引例1.变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为 s=f()则to到的平均速度为f(t)- f(to)自由落体运动t-to而在 t.时刻的瞬时速度为f (tof(t)- f(to)福v= limt-tot→toHIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

1. 变速直线运动的速度 设描述质点运动位置的函数为 0 t 则 到 的平均速度为 v = ( ) ( ) 0 f t − f t 0 t − t 而在 时刻的瞬时速度为 lim 0 t t v → = ( ) ( ) 0 f t − f t 0 t − t s o ( ) 0 f t f (t) 自由落体运动 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、 引例

2.平面曲线的切线斜率y= f(x)/N曲线 C:y= f(x)在 M点处的切线割线MN的极限位置MTx(当β→α时)Xo0XDα切线 MT的斜率k = tanα = lim tan@→αf(x)-f(xo)割线 MN 的斜率tan @二x-Xof(x)- f(xo)k = limx-XoX→XOHIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

x y o y = f ( x ) C 2. 平面曲线的切线斜率 曲线   N T x0 M 在 M 点处的切线 x 割线 M N 的极限位置 M T (当 时) 割线 M N 的斜率 tan  = ( ) ( ) 0 f x − f x 0 x − x 切线 MT 的斜率    lim tan → = lim 0 x x k → = ( ) ( ) 0 f x − f x 0 x − x 机动 目录 上页 下页 返回 结束

f(x)- f(xo)切线斜率k = lim变化率问题x-Xox-→>xof(t)- f(to)瞬时速度v= limt-tot→>to两个问题的共性所求量为函数增量与自变量增量之比的极限HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

两个问题的共性: 瞬时速度 切线斜率 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 . 变 化 率 问 题 机动 目录 上页 下页 返回 结束

导数的定义二、设函数y= f(x)在点 x.的某邻域内有定义1、定义f(x)-f(xo) = lim11lim若存在x→XoX-Xo△x-→0 △x则称函数f(x)在点x.处可导并称此极限为y=f(x) 在点 x的导数若上述极限不存在，就说函数又在点X不可导记作：df(x)dlx=xof(xodx x = xodxx =xoHIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

二、导数的定义 1、定义 设函数 在点 0 lim x→x 0 0 ( ) ( ) x x f x f x − − x y x   =  →0 lim 存在 并称此极限为 记作: ; 0 x x y =  ( ) ; 0 f  x ; d d 0 x x x y = d 0 d ( ) x x x f x = 则称函数 若 的某邻域内有定义 , 在点 处可导, 在点 的导数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若上述极限不存在 , 在点 不可导. 就说函数 x0

(xox=xo11= lim△x-0 △ xf(x)- f(xo)= limX→Xox- xof(xo + △x) - f(xo)lim△x△x-→0f(xo + h)- f(xo)lim一hh-0HIGH EDUCATION PRESS目录机动上页下页返回结束

0 x x y =  ( ) 0 = f  x 0 lim x y  → x  =  机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 0 0 ( ) ( ) = lim x x f x f x → x x − −

若函数在开区间I内每点都可导就称函数在1内可导此时导数值构成的新函数称为导函数df(x)dy记作：y'；f'(x);dxdxdf(xo)注意：f'(xo) = f(x)|x=xo dxHIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

若函数在开区间 I 内每点都可导, 此时导数值构成的新函数称为导函数. 记作: y ; f ( x ) ; ; d d x y . d d ( ) x f x 注意: ( ) 0 f  x 0 ( ) x x f x = =  x f x d d ( ) 0  就称函数在 I 内可导. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例.求函数f(x)=C(C为常数)的导数(C)=0例.求函数f(x)=xn(neN+)在x=α处的导数=nαn-1f'(a)说明：对一般幂函数=x（u为常数)(x")'= μxμ-1HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

例. 求函数 (C 为常数) 的导数. 例. 求函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明： 对一般幂函数  y = x (  为常数) 1 ( ) −  =   x  x

例．求函数f() = sin x的导数(sin x)'= cos x类似可证得(cosx)=-sin x例.求函数(logaf(x)=log。x 的导数xlna(ln x)'=特别有x例.求函数f(x)= α 的导数Falna特别有HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

例. 求函数 的导数. (sin x) = cos x 类似可证得 (cos x) = − sin x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例. 求函数 的导数. x x 1 (ln ) = 特别有 例. 求函数 的导数. 特别有

f(xo +h)- f(xo - h)例.设f'（xo）存在,求极限lim2hh-→0f(xo +h)- f(x)f(xo-h)-f(x)解：原式= lim2hh→02(-h)) = f(xo)Xo例. 求函数 f(x)=|xl 在 x =0 处的导数HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

例. 设 存在, 求极限 . 2 ( ) ( ) lim 0 0 0 h f x h f x h h + − − → 解: 原式   0 lim → = h ( ) 0 f x ( ) 2 1 0 = f  x ( ) 2 1 0 + f  x ( ) 0 = f  x 2( ) ( ) 0 h f x h − − − + ( ) 0 f x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例. 求函数 在 处的导数