《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第六章_10-6

第六节差分与差分方程的概念常系数线性差分方程解的结构差分的概念一.二.差分方程的概念三、常系数线性差分方程解的结构四、小结

一、差分的概念 二、差分方程的概念 三、常系数线性差分方程解的结构 第六节 差分与差分方程的概念 常系数线性差分方程解的结构 四、小结

一、差分的概念1.差分的定义设函数y=f(x).当x取非负整数时，函数值可以排成一个数列：f(O), f(1),..., f(x), f(x +1),...将之简记为Yo' Yi' z'..., Jx' Yx+1'称函数的改变量yx+1-y,为函数y的差分，也称为一阶差分，记为△y=x+1-x·

一 、差分的概念 1.差分的定义 Δ . , (0) (1) ( ) ( 1) : ( ). 1 1 0 1 2 1 x x x x x x x y y y y y y y y y y y f f f x f x y f x x         也称为一阶差分，记为 称函数的改变量 为函数 的差分， ， ， ， ， ， 将之简记为 ， ， ， ， ， 函数值可以排成一个数 列 设函数 当 取非负整数时，    

函数y=f(x)的二阶差分为函数y的一阶差分的差分,即"yx =△(Ayx) =△(yx+1 - yx)= (yx+2 - Jx+1)-(yx+1 - yx)= yx+2 -2yx+1 + x同样可定义三阶、四阶·差分：'yx = A(A'yx),△*yx = A(△yx)高阶差分：二阶及二阶以上的差分

x x x x x x x x x x x y y y y y y y y y y y y f x y                  2 1 2 1 1 1 2 2 ( ) ( ) Δ Δ(Δ ) Δ( ) , ( ) 差分 即 函数 的二阶差分为函数 的一阶差分的 高阶差分：二阶及二阶 以上的差分. ( ), ( ) 3 2 4 3 x x x x  y    y  y    y 同样可定义三阶、四阶差分：

例 1 求△(x2),△(x),△(x2)解设y=x’，则Ayx = △(x2)=(x+1)2 -x2 = 2x+1yx = △(x) = △(2x+1)= [2(x + 1)+1]-(2x + 1) = 2yx =△(x2)=2-2= 0

解 设y  x 2 ，则 ( ) ( 1) 2 1 2 2 2 y x   x  x   x  x  2( 1) 1 (2 1) 2 ( ) (2 1) 2 2 2             x x yx x x ( ) 2 2 0 3 3 2  y x   x   

例2求下列函数的差分(2)y = sinax(l)y = log, x;解 (1)Ayx = yx+1 - yx= log.(x +1)- log. x= log.(1 +-);x(2)Ayx = sina(x + 1) - sin ax0= 2cosa(x +YIE22

解 例 2 求下列函数的差分 y x y ax a (1)  log ; (2)  sin ); 1 log (1 log ( 1) log (1) 1 x x x y y y a a a x x x          . 2 ) sin 2 1 2cos ( (2)Δ sin ( 1) sin a a x y a x ax x      

例3求y=x!的一阶差分，二阶差分。解 Ayx= yx+1 yx= (x +1)!-x!= x·x!A"yx = A(Ayx)= A(x ·x!)= (x+1) (x+1)-x · x! (x2 + x + 1)x!

解  (x  1)!x! 例3 求y  x! 的一阶差分，二阶差分 . x x x y  y  y 1  x  x!    ! 2 y y x x x x         x  1x  1! x  x!  1 ! 2  x  x  x

例4 设y = x(n) = x(x -1)(x - 2)...(x - n + 1)x(0) = 1,求△yx(即△(x(n)))解 Ayx =(x+1)(n) -x(n)=(x +1)x(x -1)......(x +1-n+1)-x(x -1)....(x-n+2)(x-n+1)=[(x+1)-(x -n+1)]x(x -1) (x - n+2)= nx(n-1)(公式)

解 ( 2)( 1) ( 1) ( 1) ( 1 1) ( 1) ( 1) ( ) ( )                 x n x n x x x x n x x y x x n n x    (x  1)  (x  n  1)x(x 1)(x  n  2) ( 1)  n nx 1 Δ ( Δ( )). 4 ( 1)( 2) ( 1), (0) ( ) ( ) n x n x y x y x x x x x n ，求 即 例 设         （公式）

2.差分的四则运算法则(1)△(Cy)=CAyr(C为常数)(2)△(yx +zx) = Ayx + △z(3)A(yx zx)= yx+1Azx + zxAyx = yxAzx + zx+1AyxzxAyx - yxAzx - zx+1Ayx - yx+1Azx4)A-Zx3x+1ZxZx+1参照导数的四则运算法则学习

(1) (Cy ) C y (C为常数)  x   x x x x x (2)( y  z )  y  z 2.差分的四则运算法则     x x x x x x x x x x  y z  y z  z y  y z  z y 1 1 3   1 1 1 1 4                   x x x x x x x x x x x x x x z z z y y z z z z y y z z y 参照导数的四则运算法则学习

证明(3)A(yx :zx)= x+1 · zx+1 - yx Zx= yx+1 ·Zx+1 - yx · Zx+1 + Yx ·Zx+1 - Jx·ZxVx+1 - yx)zx+1 + yx(zx+1 - zx1= zx+IAyx + yxAzx

  x x x x x x y z y z y z       1 1 x x x x x x x x  y z  y z  y z  y z 1 1 1 1     x x x x x x  y  y z  y z  z 1 1 1 x x x x z Δy y Δz  1  证明（3）

又证明(3)A(yx :zx)= yx+1 · Zx+1 - yx · Zzx= yx+1 ·Zx+1 - yx+1·Zx + Yx+1 ·Zx - Jx·Zx(x+1 -zx)+(y+1 - yx).zr+1= yx+iAzx + zxAy

  x x x x x x y z y z y z       1 1 x x x x x x x x  y z  y z  y z  y z 1 1 1 1 又证明（3）     x x x x x x  y z  z  y  y z 1 1 1 x x x x y Δz z Δy  1 