《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第三章_3.1

第一节中值定理一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理四、小结思考题高等数学（上册）

一 、罗尔定理 二、拉格朗日中值定理 四、小结 思考题 三、柯西中值定理 第一节 中值定理

回顾旧知：连续定义从这个定义我们可以看出，函数f(x)在点 x处连续，必须满足以下三个条件：(1)函数f(x)在点 x,处有定义;(2)极限 limf(x)存在，即x->xolim f(x) = lim f(x)x->xox->xo(3) lim f(x)= f(x.) :即：[函数在某点连续等价于函数在该点的极限存在且等于该点的函数值高等数学（上册）

从这个定义我们可以看出，函数 f (x)在点 x0 处连续，必须满足以下三个条件： （1）函数 f (x)在点 0 x 处有定义； （2）极限 lim ( ) 0 f x xx 存在，即 lim ( ) lim ( ) 0 0 f x f x x x x x      （3）lim ( ) ( )0 0 f x f x x x   . 即：函数在某点连续等价于函数在该点的极 限存在且等于该点的函数值. 回顾旧知：连续定义

回顾旧知：导数定义在点x.处的导数dydf(x)或记为y"x=x"x=Xox=xodxdxAyf(x。 +△x)- f(x.即lim: lim11二X=XoAxAxAr-→>0Ar-→0f(xo +h)-f(x.)其它形式f'(xo) = limhh→0f(x)-f(xo)f(xo) = limx-→xox-xo如果极限存在，则称函数y=f()在点xo处可导高等数学（上册）

. ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 h f x h f x f x h      其它形式 . ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 x x f x f x f x x x      x f x x f x x y y x x x x               ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 0 , d d ( ) d d 0 0 x x x x x f x x y  或  即 回顾旧知：导数定义

罗尔(Rolle)定理罗尔（Rolle）定理设函数f(x)满足以下三个条件：(1) 在闭区间」[a,b]上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3)端点值相等:f(a)= f(b)则至少有一点≤ε(a,b),使f()=0高等数学（上册）

一、罗尔(Rolle)定理 罗尔（Rolle）定理 设函数 f (x)满足以下三个条件: (1)在闭区间 [a,b]上连续, (2)在开区间(a,b)内可导, (3)端点值相等: f (a)  f (b), 则至少有一点 (a,b) ,使 ( ) 0 ' f  

例如, f(x)= x2 -2x-3 =(x -3)(x+1)(1)在[-1,3]上连续(2)在(-1,3)上可导(3) 且 f(-1)= f(3)= 0,: f'(x) = 2(x -1),取=1,(1 ε (-1,3))f'() = 0.高等数学（上册）

例如, ( ) 2 3 2 f x  x  x   ( x  3)( x  1). (1)在[1,3]上连续, (2)在(1,3)上可导, (3)且 f (1)  f (3)  0, 取  1, (1(1,3)) f ()  0.  f ( x)  2( x  1)

yC几何解释：y= f(x)BA在曲线弧AB上至少有一点C,在该点处s,0a52bx的切线是水平的，即，至少存在一条平行于VCx轴的切线v= f(x)ABb0ax5专高等数学（上册）

几何解释: a 1  2 b x y o y  f (x) . , 的切线是水平的 少有一点 在该点处 在曲线弧 上至 C AB C A B a  b x y o y  f (x) C A B x 即,至少存在一条平行于 轴的切线

注意：若罗尔定理的三个条件中有一个不满足，其结论可能不成立例如, y =x],x E[-2,2];在[-2,2]上除_f'(0)不存在外,满足罗尔定理的一切条件,但在区间「-2,21内找不到一点能使 f'(x)= 0.高等数学（上册）

注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其 结论可能不成立. 例如, y  x , x [2,2]; , [ 2,2] (0) , 的一切条件 在  上除 f  不存在外 满足罗尔定理 ( ) 0. [-2 2] 使 f  x  但在区间 ， 内找不到一点能

类似，习题3-1,2题例1 证明方程 x5-5x+1=0有且仅有一个小于1的正实根。证： 设 f(x)=x§-5x+1,则 f(x)在[0,1]连续(证存在)且 f(0)=1, f(1)=-3.由零点定理日x。E(0,1),使 f(x)=0.即为方程的小于1的正实根(证唯一:设另有 x =(0,1),x x，使 f(x)=0.反证法)： f(x)在 xo,x,之间满足罗尔定理的条件, f'() = 0.：至少存在一个专(在xo,x,之间),使得但 f(x)= 5(x4-1)<0,(xE(0,1)矛盾,: 为唯一实根.高等数学（上册）

例1 1 . 5 1 0 5 的正实根 证明方程 x  x   有且仅有一个小于 证: ( ) 5 1, 5 设 f x  x  x  则 f ( x)在[0,1]连续, 且 f (0)  1, f (1)  3. 由零点定理 (0,1), ( ) 0.  x0  使 f x0  即为方程的小于1的正实根. (0,1), , 1 1 0 设另有 x  x  x ( ) 0. 使 f x1  ( ) , ,  f x 在 x0 x1 之间满足罗尔定理的条 件 至少存在一个  (在 x0 , x1 之间),使得 f ()  0. ( ) 5( 1) 4 但 f  x  x   0, ( x (0,1))矛盾,为唯一实根. (证存在) (证唯一: 反证法) 类似，习题3-1,2题

Lagrange's Mean-value Theorem拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理(1)若函数f(x)在闭区间J[a,bl上连续(2)在开区间(a,b)内可导则在(a,b)内至少有一点(a<<b)，使F(3)=/(b)-(a)得b-a或 f(b6)-f(a)=f ()(b-a)注意：:与罗尔定理相比条件中去掉了 f(a)=f(b)故罗尔定理是拉格朗日定理的特例高等数学（上册）

二、拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理 (1)若函数 f(x)在闭区间 [a,b]上连续, (2)在开区间(a,b)内可导, 则在(a,b)内至少有一点(a    b)，使 得 b a f b f a f    ( ) ( ) ( ) '  ( ) ( ) ( )( ) ' 或 f b  f a  f  b  a 注意 :与罗尔定理相比条件中 去掉了 f (a)  f (b). (Lagrange’s Mean-value Theorem) 故罗尔定理是拉格朗日定理的特例

f(b)- f(a)f'(5)=b-ayy= f(x)C几何解释：MB在曲线弧 AB 上至DNA少有一点C,在该点处的x5152bax0切线平行于弦AB即，至少存在一条平行于割线AB的切线高等数学（上册）

o a 1 x  2 b x y y  f (x) A B C N D 几何解释: M . , AB C AB 切线平行于弦 少有一点 在该点处的 在曲线弧 上至 ( ) ( ) ( ) . f b f a f b a      AB 即,至少存在一条平行于 割线 的切线