《线性代数》课程教学资源（课件讲稿，B）第四章 特征值和特征向量_4.4 实对称矩阵的相似对角化

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第四章特征值与特征向量C=a第四节实对称矩阵的相似对角化Na数二（和十）六2业

第四节 实对称矩阵的相似对角化 第四章 特征值与特征向量

线性代数第一节矩阵及其运算共轭矩险目录实对称矩陷的精值与特征向量实对称矩陷的相似对角化儿综合例题高事教商出版社新时代大学数学东列教材

一 二 三 四 线性代数 第一节 矩阵及其运算 新时代大学数学系列教材 共轭矩阵 实对称矩阵的特征值与特征向量 实对称矩阵的相似对角化 综合例题

线性代数第四节实对称矩阵的相似对角化一、共轭矩阵设A=(a),a,iC(C为复数集)A=(a)称为A的共轭矩阵mn共轭矩阵具有以下性质：() AT-AT(2) kA=kA(3) AB=AB高教育出服社11新时代大学数学系利教材

第四节 实对称矩阵的相似对角化 新时代大学数学系列教材 线性代数 一、共轭矩阵 共轭矩阵具有以下性质：

线性代数第四节实对称矩阵的相似对角化二、实对称矩阵的特征值与特征向量定理1实对称矩阵的特征值都是实数证 设AI R"", A=A, Aa=lα, a=(a,α,L a,)0则 Aa=Aa=la=la,a'A-TaITTaAa=laa,laa=laa,(-T)'a =0,-Taa=aa+aa,+L+aao,=高教育出社11新时代大学数学系利教材

第四节 实对称矩阵的相似对角化 新时代大学数学系列教材 线性代数 二、 实对称矩阵的特征值与特征向量 . 定理1 实对称矩阵的特征值都是实数 . 证

线性代数第四节实对称矩阵的相似对角化推论实对称矩阵A的特征向量都是实向量这是因为A的特征向量都是(,I-A)X=0的非零解向量而A的特征值1，是实数定理2实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交证设Aa,=11Aa2=12(,12,a,10,a,0)liafaz-(la)az=(a,)az =a,A, =ala2 =l ala2(-1)aa,=0Ql-,0,(ara)-a,a,=0高教育出服社11新时代大学数学系利教材

第四节 实对称矩阵的相似对角化 新时代大学数学系列教材 线性代数 推论 实对称矩阵 A 的特征向量都是实向量 . 定理2 实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交 . 证

线性代数第四节实对称矩阵的相似对角化三、实对称矩阵的相似对角化定理3对任一实对称矩阵A，都存在正交矩阵C，使a0一O一CTAC-C-IAC-C一C一Creno其中，111,,L，1，是矩阵A的特征值用数学归纳法可以证明定理3推论设A是实对称矩阵，！是A的k重特征值则所对应的线性无关特征向量的个数恰为k高教育出版社11新时代大学数学票利教材

第四节 实对称矩阵的相似对角化 新时代大学数学系列教材 线性代数 三、实对称矩阵的相似对角化 定理3 用数学归纳法可以证明定理3 . 推论

线性代数第四节实对称矩阵的相似对角化求正交矩阵C与对角矩阵L的步骤()求f()=1-A的根:/1,1,(2）求（L,I-A)X=0的基础解系：anai,Lans(3)将 αai2,La正交化后再单位化得：giu.gi2,L-gm(4)令C=(guLgnLghLgh）则C为正交矩阵且CAC=CAC==diag(,I,I,)首高事教育出服社11新时代大学数学系利教材

第四节 实对称矩阵的相似对角化 新时代大学数学系列教材 线性代数

线性代数第四节实对称矩阵的相似对角化ae220例1C5A=--eO求正交矩阵C与对角矩阵L使CTAC=C-IAC=L解=(1 - 1) (1 - 10)I-Al, =1(二重), 1, =10高教育出社1新时代大学数学系利教材

第四节 实对称矩阵的相似对角化 新时代大学数学系列教材 线性代数 例1 解

线性代数第四节实对称矩阵的相似对角化求1，=的特征向量81-2120al2-201-A--2 -4OR0CC2420CX, =-2x2+2x，a,=(-2,1,0), a,=(2, 0,1)将 正交化:b,=,=(-2,1,)(a2,bi)-(2.0,1)-(-2.1, 0)(bi,b.)(2 4. ),首高教育出服社11新时代大学数学票利教材

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