山东理工大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第六章 统计量

第六章统计量及其分布S2统计量统计量概念经验分布函数08

第六章 统计量及其分布 §2 统计量 一、统计量概念 二、经验分布函数

统计量概念1、定义样本是进行统计推断的依据．在应用时，往往不是直接使用样本本身，而是针对不同的问题构造样本的适当函数，利用这些样本函数进行统计推断.定义6.2.1 设X,X,X,是来自总体X的一个样本,g(Xi,X2,X,)是Xr,X,,X,的函数，若 g 中不含未知参数，则称g(X1,X2,:,X,)是一统计量它是完全由样本决定的量001018中不不不高等数学工作堂不不

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2、常用统计量设X,X,,,X,是来自总体 X 的一个样本，xj,x,,..,x,是这一样本的观察值，它反映了总体均值X-12x,样本均值的信息ni=l样本方差S'-2(X,-X)-n(2xi-n")它反映了总体方差的信息-2(x,-x)-2(x;-n)样本标准差S=30008不不不高等数学工作室不不不

高等数学工作室 3   n i Xi n X 1 1 它反映了总体均值 的信息 ( ) 1 1 1 2 2     n i Xi nX n 它反映了总体方差 的信息     n i Xi X n S 1 2 2 ( ) 1 1       n i Xi X n S 1 2 1 1       n i Xi nX n 1 2 2 1 1

样本k阶原点矩它反映了总体K阶矩的信息4 -+2 t, k -1,..l样本k阶中心矩它反映了总体K阶中心矩的信息B, -,Z(X, - X), k-2,3,..000x个不个高等数学工作室个

高等数学工作室 4 , 1 1   n i k k Xi n A 它反映了总体K阶矩 的信息 k  1,2, ( ) , 1 1    n i k k Xi X n B 它反映了总体K阶 k  2,3, 中心矩的信息

性质女如果总体 X 的 k 阶矩μ=E(Xk)存在，X,X,,…,X,为来X自总体X的样本，样本k阶矩Ak二ni(1) 当n→o时, Ak - P→μk, k = 1, 2,..(2）若g 是连续函数，当n→时，矩估计法的理论根据g(A,A2,...,A) -P→g(u,μ2,..., μ).08不不个高等数学工作堂不个

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二、经验分布函数1、次序统计量（顺序统计量将样本XXX按从小到大的次序进行排列，记为Xa),X(2),.,X(m),于是有Xa) ≤ X(2) ≤... ≤X(m),称X()是样本X1,X2,*,X,的第i个次序统计量，i=1,2,..,n.显然, X() = min[X1,X,,.,X,,X(n) =max(X1,X,,.,X,).可以证明，若总体X的分布函数和概率密度分别为F(x),f(x)，则Xi的概率密度为n!Fi- (x)[1- F(x)]"-i f(x),i= 1,2, ,n.f.(x) =(i-1)!(n-i)!008中个不个高等数学工作室不个

高等数学工作室 6 ( )[1 ( )] ( ), ( 1)!( )! ! ( ) 1 F x F x f x i n i n f x i n i i       i  1,2,,n

2、经验分布函数设X,X,,.,X,为来自总体 X 的样本，xi,x,,.,x,为其观测值,xa),(2),x(m)为其顺序统计量的取值，作函数0x<x(1)F,(x)=} k / nX(k) ≤x<x(k+1) , k =1,2,,n-1,1X(m ≤x则F,(x)在 R 上单调递增右连续，F,(-oo)=0,F,(+o)=l，于是F,(x)是一个分布函数，称其为基于样本观测值xj,x2,x,的经验分布函数由经验分布函数定义知，F(x)表示样本X,Xz,X,中相互独立的事件X,≤x的频率，在 n 固定时，F,(x)是样本的不含未知参数的函数，是一个随机变量o不不个高等数学工作堂不个

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新由经验分布函数定义知，F（x)表示样本X,X，,X，中相互独立的事件X,≤x?的频率，在n 固定时，F(x)是样本的不含未知参数的函数是一个随机变量X,≤xi=1,2,..,n,定义函数I(x)=0 x<X,则 I,(x),L,(x),,I,(x) 独 立 同分 布，且 有 I,(x)~b(1,F(x) 及121(x).F,(x)=ni-i"ZI(x)依概率收敛于则由辛钦大数定律知，F(x)=4ni=lE[I,(x)]=F(x)，于是在样本容量n很大时，可用经验分布函数F,(x)近似代替总体X的分布函数F（x）001018中个个高等数学工作室个不个

高等数学工作室 8       , 0 1 ( ) i i i x X X x I x i  1,2,,n

例 1 设Xi,X,,,X,是来自总体X的样本，X-1之x,，则ni-lZ(X,- X)=0.i=1(X,- X) -ZX, -nX = 0.解i=1=说明这是关于样本均值的一个重要性质，每一个值X,与X都有偏差，但所有偏差之和等于0.o08个不个高等数学工作室不个

高等数学工作室 9   n i Xi X 1 ( ) 0. 1     n i Xi nX

例 2设X,,X,.,X,是来自总体 X的样本，则对于任意常数 c，有Z(X,-c)≥E(X,-X)，等号成立的充要条件为X=c.Z(X,-c)" -Zl(X,-X+X-c)证--Z((X, - X) +(X -c) + 2(X, - X)(Xx -c)i=1E(X,-X) +Z(X-c)° +Z2(X,-X)(X-c)3E(X,-X) +n(X -c)" ≥E(X, -X)-i=等号成立的充要条件为X=c00810不不不高数学工作室不不不

高等数学工作室 10   n i i X c 1 2 ( )      n i i X X X c 1 2 [( )         n i i i X X X c X X X c 1 2 2 [( ) ( ) 2( )( )]         n i n i i X X X c 1 2 1 2 ( ) ( )     n i i X X X c 1 2( )( ) ( ) , 1 2    n i Xi X 2 1 2 (X X) n(X c) n i   i    