山东理工大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第五章 中心极限定理

第五章大数定律及中心极限定理S2中心极限定理独立同分布的中心极限定理二李雅普诺夫中心极限定理E棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理08

第五章 大数定律及中心极限定理 §2 中心极限定理 一、独立同分布的中心极限定理 二、李雅普诺夫中心极限定理 三、棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理

在客观实际中有许多随机变量，它们是由大量的相互独立的随机因素的综合影响所形成的，而每一个别因素在总的影响中所起的作用不大这种随机变量往往近似地服从正态分布这种现象就是中心极限定理的客观背景000不不不高等数学工作堂不不

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、独立同分布的中心极限定理定理5.2.1（独立同分布的中心极限定理）设随机变量序列Xi,X,,,X,,独立同分布，且 E(X）= μ,D(Xk)= α2 > 0,(k = 1,2,...), 则Zx -E(2x)Ex, -nμ≤x}= lim P(k=Ilim F,(x)= lim P(k=I≤x)n>00n->00n>00onD(2x)k=1P/2 dt = Φ(x).oo8不不个高等数学工作堂不个

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EX,-E(EX)k=1近似服从定理5.2.1表明当n充分大时Y,=D(ZX)k=1TE从而有ZX,近似服从N(E(ZX,),D(ZX,)N(0,1),k=1k=1k=ZX=X 近似服从N(E(X),D(X)nk=leo个个个高等数学工作室不不个

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福例1一电气设备同时收到20个独立的噪声电压V(i=1,2,···,20)20且均服从区间(0,10)的均匀分布，记V=EV，求概率P(V>105)的近似i=1值.0.10105) ~1-Φ(~ 1 -Φ(0.39) = 0.3483V500/3i=1001018不不不高等数学工作堂不不

高等数学工作室 5 ( )  5, E Vi ( )  25 / 3, D Vi ( ) 100, 20 1   i E Vi , 3 500 ( ) 20 1   i D Vi ), 3 500 ~ (100, 20 1 V N i i 近似地  { 105} 20 1   i P Vi ) 500/ 3 105 100 1 (      1 (0.39)  0.3483

二、李雅普诺夫中心极限定理定理 5.2.2（李雅普诺夫定理）设随机变量序列X,,X,,…·,X,,相互独立, 且E(X,)=μ,D(X,)=0i >0,(h=1,2,-), B,-ZoiZE(IX,-μ12+°}=0，则对于任意x，有若存在>0，使得limB2+8n->00k=Zx-ZuZx,-E(Zx)k=1lim F,(x)= lim Pk-≤ x}= lim Pk-1≤x}Bnn->00n->0H->oD(2X.)/2 dt = Φ(x).008个不个高等数学工作室不个

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ZX,-E(EX)k=1近似服从定理5.2.2表明当n充分大时Y,=D(ZX)k=lTE从而有ZX,近似服从N(E(ZX,),D(ZX,)N(0,1),k=1k=1k=ZX=X 近似服从N(E(X),D(X)nk=loo8个个个高等数学工作室不不个

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?例2一份试卷由99道题目组成，并按照由易到难的顺序进行排列某学生答对第一题的概率为0.99，答对第二题的概率为 0.98，一般地，i =1,2,...,99答对第i道题的概率为P，=1100假如该学生回答各道题是相互独立的，并且要回答正确的题不低于60道时才算过关，求这位学生能够通过考试的概率答对第道题目解i = 1,2,...,n,记Xk答错第道题目则X,,X,,..,X,相互独立, 且E(X,)= p:,D(X,)= p,(1- p,),i = 1,2,...,99,B, =≥D(X) = Zp,(1-P,)→00(n→0),E(I X - p: I) = p,(1- p,)3 + p,(1-p,) ≤ p,(1 -p,),000x不不不高尊数学工作室不不不

高等数学工作室 8 , 0 1     答错第 道题目 答对第 道题目 记 i i Xk i  1,2,,n,   n i Bn D Xi 1 ( ) (1 ) ( ), 1         p p n n i i i (| | ) 3 E X  pi (1 ) (1 ) 3 3  pi  pi  pi  pi (1 ),  pi  pi

S之D(X) =≥p(1- p,) → 0(n → 80),B, =E(IX- p, P) = p,(1-p,)" + p,(1- p,) ≤ p,(1- p,),12E(x-4P) s→ 0(n → ),2pa-)ii=199E(Zx)-Zp, -E(1= 49.5,100il%-2 D(x,) -2p(1-P) -21001-T= 16.665.100i=19960 - 49.5P(Zx, ≥60) ~1-0(~ 1 -@Φ(2.57) = 0.005/16.665i=l001018个个高等数学工作室个不个

高等数学工作室 9   n i Bn D Xi 1 ( ) (1 ) ( ), 1         p p n n i i i (| | ) 3 E X  pi (1 ) (1 ) 3 3  pi  pi  pi  pi (1 ),  pi  pi (| | ) 1 3 1 3 i i n n i E X B     0( ), (1 ) 1 1       n p p n i i i      99 1 99 1 ( ) i i i E Xi p    99 1 ) 100 (1 i i  49.5,   99 1 2 99 ( ) i B D Xi    99 1 (1 ) i pi pi ) 16.665, 100 (1 100 99 1     i i i   99 1 { 60} i P Xi ) 16.665 60 49.5 1 (      1 (2.57)  0.005

三、棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理定理5.2.3（棣莫弗一拉普拉斯定理）设随机 变量 nn～b(n,p),n =1,2,.….，则 对于任意 x ，有nn-npe? /2 dt = Φ(x)≤x}=lim F, (x)= lim P2元(np(1- p)->00n->00nn - np近似服从N(0,1)定理5.2.3表明当n充分大时，Z，=np(1- p)而n,近似服从N(E(nn),D(nn)，即 N(np,npq)810不不个高等数学工作室不个

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