山东理工大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第三章 二维随机变量及其分布

第三章多维随机变量及其分布S1二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布函数二、二维离散型随机变量三、二维连续型随机变量四、两个常见的二维连续型随机变量的分布08

第三章 多维随机变量及其分布 §1 二维随机变量及其分布 一、二维随机变量及其分布函数 二、二维离散型随机变量 三、二维连续型随机变量 四、两个常见的二维连续型随机 变量的分布

维随机变量及其分布函数1、二维随机变量定义 3.1.1 设 E 是一个随机试验，它的样本空间是 S={e}，设X=X(e)和 Y=Y(e)是定义在 S 上的随机变量， 由它们构成的一个随机变量（X，Y），叫做二维随机向量或二维随机变量说明二维随机变量（X,Y）的性质不仅与X、Y有关，而且还依赖于这两个随机变量的相互关系0008个不个高等数学工作室不个

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业2、联合分布函数定义3.1.2设（X,Y）是二维随机变量，对于任意实数xy，二元函数：F(x, y)= P((X ≤ x)n(Y ≤y) = P(X ≤x,Y≤y)称为二维随机变量（X,Y）的分布函数，或称为X和Y的联合分布函数说明F(x,y)表示随机点（X,Y)落在矩形区域 D：(-o0,x)×(-0,yl内的概率易知 P(x, <X≤x2,y,<Y≤J,}= F(x2,y2)- F(x2,J) - F(xi,y2)+ F(xi,J)(x,y)(x2,y2)X≤x,Y≤y00x(xi,y))000不不不高等数学工作堂不不不

高等数学工作室 3 o x y (x, y)  X  x,Y  y o x y ( , ) 2 2 x y  ( , ) 1 1 x y

?基本性质（1）单调性F(x，)是变量x和v的单调不减函数：(2) 有界性 0≤F(x,y)≤1,F(x,-00)= 0, F(-00, y) = 0, F(-00,-00) = 0, F(+00,+80)= 1.(3）右连续性F(x,y)关于变量x和y右连续(4)三非负性设x,<x2,J<y2，则F(x,,y,) -F(x,,J)-F(x,y,)+ F(x,y)≥0说明具有上述四条性质的二元函数可以看作某个随机变量的分布函数；反之，任一二维随机变量的分布函数必须具有上述四条性质008不不个高等数学工作堂不个

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例1判断下列二元函数是不是某个二维随机变量的分布函数0x+y<0F(x,y)=[1 x+y≥0解P[x, <X≤x2,yi<Y≤ y2}= F(x2,y2) -F(x2,yi) -F(xi,y2)+ F(xi,yr)P/-1<X≤1,-1<Y≤1= F(1,1)- F(1,-1)- F(-1,1)+ F(-1,-1) =1-1-1+0 = -1,F(x,y)不是分布函数oo8不不个高等数学工作堂不个

高等数学工作室 5 { , } 1 2 1 2 P x  X  x y  Y  y ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 2 2 2 1 1 2 1 1  F x y  F x y  F x y  F x y P{1  X  1,1  Y  1}  F(1,1)  F(1,1)  F(1,1)  F(1,1)  1 1 1 0  1

福例2设二维随机变量的分布函数是F(x, y) = A(B + arctan x)(C + arctan 2y),求：(1)常数A,B,C的值；(2)事件P1<X<+0,0<Y≤2元解 (1) lim F(x,y)=0 =→C12元1211(x,y)-(x,-00)limF(x,y)=0 = B(x,y)-→(-00,y)limF(x,)=1 = A=2元(x,y)→(+00,+0)1元+ arctanx)( + arctan 2y),(2)F(x, y) =元22Plextoocrs= F(+0, ) - F(1,)-F(+0,0) + F(1,0) =160008个不个高等数学工作室不不不

高等数学工作室 6 (1) lim ( , ) 0 ( , ) ( , )    F x y x y x , 2  C  lim ( , ) 0 ( , ) ( , )    F x y x y y , 2  B  lim ( , ) 1 ( , ) ( , )     F x y x y , 12   A arctan2 ), 2 arctan )( 2( 1 (2) ( , ) 2 F x y   x  y    } 21 P{1  X  ,0  Y  ) ( ,0) (1,0) 21 ) (1, 21  F(,  F  F   F . 161 

一、二维离散型随机变量若二维随机变量（X，Y）所取的可能值是有限对或无限可列多对，则称（X,Y）为二维离散型随机变量定义 3.1.3设二维离散型随机变量（X,Y）所有可能取的值为(x;,y;),i, j=1,2,..", 则称P[X = x,Y = y,} = Pj,i, j =1,2,.为二维离散型随机变量（X,Y）的分布律，或X和Y的联合分布律XxixiX2Yyipii21pii表格表示法yp 12p122ypijP2j(1)p, ≥0, (2)EZP, =1基本性质001018个不个高等数学工作室不不

高等数学工作室 7 (1)  0, pij (2) 1. 1 1      i j pij X Y x 1 x 2  x i  1 y 2 y  j y  p 11 p 12  p 1 j  p 21 p 22  p 2 j     p i 1 p i 2  p ij    

Xx1X2xiYyp11p 21pi1P 12 22p1jP2Epi计算公式 VGR,PI(X,Y)EG}=(x),y,)EGEEpi分布函数 F(x,)=PX≤x,Y≤}= x,sxyjsy80008个不个高等数学工作室不个

高等数学工作室 8 X Y x 1 x 2  x i  1 y 2 y  j y  p 11 p 12  p 1 j  p 21 p 22  p 2 j     p i 1 p i 2  p ij    

-X例 3设（X,Y）的分布律是2Y11求：(1) α的值;03(2)P(X<2, Y ≤2].1a2a46+0+=1(1)a2解364132-4a3(2)P(X <2,Y≤2)183C008福不不不高等数学工作室不不不

高等数学工作室 9 1 4 1 0 4 1 3 6 1 (1) 2      a  a . 3 1  a  3 1 X Y 1 2 3 6 a 0 2 a 1 2 4 1 4 1 (2)P{X  2,Y  2} 3 6 1 a   . 18 7 

业例4某口袋中有三个球，它们依次标有数字1.2.2．从这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取一球．设每次取球时，袋中各球被取到的可能性相同.以X,Y分别记第一次和第二次取得的球上标有的数字.求：（1)(X,Y)的分布律；(2) PIX ≥Y)X解(1)P(X = 1,Y = 1)Y22= P(X =1)P(Y =1/ X =1) = _×0 = 0,1303P(X = 1,Y = 2)1= P(X =1)P(Y =2/ X =1)133213321P(X = 2,Y =1}P(X = 2,Y = 2]3321(2)P(X ≥Y) = 0 +33300810不不不高等数学工作堂不不

高等数学工作室 10 31 X Y 12 3101 231 (1)P{X  1,Y  1}  0, , 31 P{X  2,Y  1}  , 31 P{X  2,Y  2}  (2)P{X  Y} . 32 31 31  0     P{X  1}P{Y  1| X  1} 0 32   P{X  1,Y  2}  P{X  1}P{Y  2 | X  1} 21 32   , 31 