山东理工大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第二章 随机变量的函数的分布

随机变量及其分布第二章85随机变量的函数的分布离散型随机变量的函数的分布二连续型随机变量的函数的分布0

第二章 随机变量及其分布 §5 随机变量的函数的分布 一、离散型随机变量的函数的分布 二、连续型随机变量的函数的分布

S离散型随机变量的函数的分布例 1设随机变量X的分布律为0X-131Pk0.20.30.10.4试求：(1)Y=X2的分布律;(2)Y=2X+1的分布律;(3）Y=maxX,1)的分布律-1135Y0911解 (1)(2)0.2 0.3 0.1 0.4Pk0.40.30.3PkY31(3)0.60.4Pko中个个个高等数学工作室不不个

高等数学工作室 2 0.3 0.23 0.4 0.2 0.3 0.1 0.4 0.6 0.4

般地，若X的分布律为XXxXk二PkPp2Pk则Y=g(X)的分布律为Yg(x)g(x2)g(x)PkPkP2Pr若g(x)中有相同数值的，应将相对应的概率相加2oo8不不个高等数学工作室不个

高等数学工作室 3

+二、连续型随机变量的函数的分布x0<x<4例 2 设随机变量X具有概率密度 fx(x)=8二0其它求随机变量Y=2X+8的概率密度解　分布函数法F,() - P(Y≤y -P(2X+8≤y) - P(Xs"=8 -Fx("_8)两边关于求号，1(0)-1(一号)y-8 0<8<48<y<1632L0其它0其它0008个不个高等数学工作室不个

高等数学工作室 4 F ( y) Y  P{2X  8  y} } 2 8 {    y P X ), 2 8 (   y FX  P{Y  y} f ( y) Y 2 1 ) 2 8 (   y f X            0 其它 4 2 8 0 2 1 ) 2 8 ( 8 1 y y . 0 8 16 32 8          其它 y y

分布函数法设随机变量X的概率密度为fx(x)则y=ax +b(a 0)的分布函数为F,(y) = P(Y ≤ y}= P(aX +b≤ y)P(X≤y-Fx(-b)a>0a>0[1-F("-) a<0P(X≥y-b)a<0-x(-h两边关于求导，f,(y）=08个不个高等数学工作室不个

高等数学工作室 5 F ( y) Y  P{aX  b  y}             { } 0 { } 0 a a y b P X a a y b P X , 1 ( ) 0 ( ) 0            a a y b F a a y b F X X  P{Y  y} f ( y) Y ( ). | | 1 a y b f a X  

例3i设随机变量X具有概率密度f(x),-800时,F,(y) = P(Y≤y)= P(X≤y) =P(-/y≤X≤/y)=Fx(/y) -Fx(-/y),-lfx(y)+fx(-/y)) y>0关于y求导，可得 f,(y)=320y≤0说明若X～N(0,1)，由例 3 可知Y = X2的的概率密度函数为1/2e-y/2>0fr(y)=3H2元0J≤O此时称 Y服从自由度为1的2分布，记作 Y～×(1)0008个不个高等数学工作室不不不

高等数学工作室 6 F ( y) Y  P{Y  y}  0, F ( y) Y  P{Y  y} { } 2  P X  y  P{ y  X  y} F ( y)  X F ( y),  X  . 0 0 [ ( ) ( )] 0 2 1 ( )          y f y f y y f y y X X Y

定理 2.5.1设随机变量 X具有概率密度 f(x),-0（或恒有g(x)0,当y≤α时,F,(y) = P[Y≤y} =0,当y≥ β时, F,(y)= P(Y≤y) =1,当α<y<β时, F,(y) =P(Y ≤y) = P(g(X)≤y)= P[X≤h(y)= Fx[h(y)],. r(0) - Jfx[h()]h'() α<y<β其它0001018不不不高等数学工作室不不不

高等数学工作室 7 F ( y) Y  P{Y  y}  0, F ( y) Y  P{Y  y}  1, F ( y) Y  P{Y  y}  P{g(X)  y} P{X  h( y)} F [h( y)],  X f ( y)  Y . 0 [ ( )] ( )        其它 f h y h y y X  

[- fx[h(y)]h'(y)α 0 (或g'(x)<0), 且α =minig(a),g(b)), β =maxig(a),g(b))008不不个高等数学工作堂不个

高等数学工作室 8 f ( y) Y . 0 [ ( )] ( )        其它 f h y h y y X  

?例 4 设X ~ U(-1,I)(2)Z=X2的概率密度试求：(1)Y=2X+3 的概率密度;[1-1<x<1fx(x)=12解[6其他 y=2x+3 =g(x), ..x- y-3 -h(y),21<y<5: fr(y) = 4a其他0oo8个不个高等数学工作室不个

高等数学工作室 9 , 0 1 1 2 1 ( )         其他 x f X x  y  2x  3 2 3   y x  h( y), . 0 1 5 4 1 ( ) 1 ( )           其他 y a y b f f y a X Y  g(x)

新例 4 设X ~U(-1,I),(2) Z=X2的概率密度试求：（1）Y=2X+3的概率密度；[110关于 z求导，可得fz(z)=}20z≤00<z<1fz(z) =3 2/z其他000810个不不高等数学工作室不不

高等数学工作室 10 , 0 1 1 2 1 ( )         其他 x f X x F (z) Z  P{Z  z}  0, F (z) Z  P{Z  z} { } 2  P X  z  P{ z  X  z} F ( z)  X F ( z),  X  . 0 0 [ ( ) ( )] 0 2 1 ( )          z f z f z z f z z X X Z F (z) Z  P{Z  z}  1, . 0 0 1 2 1 ( )        其他 z f Z z z