山东理工大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第三章 随机变量的独立性

第三章多维随机变量及其分布S4随机变量的独立性一、两个随机变量的相互独立性二、n个随机变量的相互独立性0

第三章 多维随机变量及其分布 §4 随机变量的独立性 一、两个随机变量的相互独立性 二、n 个随机变量的相互独立性

-随机变量的相互独立性定义 3.4.1 设F(x,y)及Fx(x),F,(y)分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数及边缘分布函数．若对于所有x,y有P(X≤x,Y≤y = P(X≤x)P(Y ≤y),即F(x,y) = Fx(x)F,(y),则称随机变量X与Y是相互独立的定理 3.4.1 若(X,Y)为离散型随机变量，X与Y相互独立的充分必要条件是对于(X,Y)的每一对可能取的值(x;,J;)有P(X = x,Y = y, = P(X = x,}P(Y = y,).定理 3.4.2若(X,Y)为连续型随机变量，X与Y相互独立的充分必要条件是等式f(x,y)= fx(x)fr(y)在全平面上几乎处处成立001018不不不高等数学工作室不不不

高等数学工作室 2

例1若X,Y的联合分布律为X01P(Y = j)Y2110621621126621P(X = i)33: P(X = 0,Y = 0) = P(X = 0)P(Y = 0),P(X = 0,Y =1) = P(X = 0)P[Y =1),P(X =1,Y = 0 = P(X =1)P(Y = 0},P(X = 1,Y = 1) = P(X = 1}P(Y =1),：X与Y相互独立008个不个高等数学工作室不个

高等数学工作室 3 2 1 X Y 0 1 0 1 6 1 6 2 6 1 6 2 P{X  i} P{Y  j} 2 1 3 1 3 2 P{X  0,Y  0}  P{X  0}P{Y  0}, P{X  0,Y  1}  P{X  0}P{Y  1}, P{X  1,Y  0}  P{X  1}P{Y  0}, P{X  1,Y  1}  P{X  1}P{Y  1}

S例 2设两个独立的随机变量 X 与 Y 的分布律为X2Y241Pk0.7Pk0.40.30.6求随机变量（X,Y）的分布律X解: P(X =1,Y =2)Y12= P(X = 1}P(Y = 2) = 0.18,0.4220.18P(X = 1,Y = 4)= P(X = 1)P(Y = 4) = 0.12.40.280.12P(X = 2,Y = 2]= P(X = 2)P(Y = 2] = 0.42.P(X = 2,Y = 4)= PX = 2)P(Y = 4) = 0.280008拉不不个高等数学工作室不个

高等数学工作室 4 X pk 1 0.3 2 0.7 Y pk 2 0.6 4 0.4 0.42 X Y 2 4 0.12 0.18 1 2 0.28 { 1} { 2} 0.18, { 1, 2}       P X P Y P X Y { 1} { 4} 0.12, { 1, 4}       P X P Y P X Y { 2} { 2} 0.42, { 2, 2}       P X P Y P X Y { 2} { 4} 0.28, { 2, 4}       P X P Y P X Y

+例3随机变量(X,Y）的概率密度yxe-J00w)-Lx.n)y - e -xe其他0-{ I're'a-y'e>0同理 f,(y)其他1由f(x,y)± fx(x)fr(y)知X,Y不独立.oo8不不不高等数学工作堂不不个

高等数学工作室 5    f x  f x y dy X ( ) ( , )  其他    0    x y xe dy x xe   f ( y) 同理 Y  其他    0 y  0   y y xe dx 0 y y e   2 2 1 x  0 x y o

例 4 若(X,Y)概率密度为(x-H1)2X-H1,y-H2(y-H2)2福2G12(1-p2G0202f(x,y)=2元0,02/1-p2(x-)2(y-15)202202由本章 s2 例 3 知fx(x)=fr(y)=2元012元02易证，X和 Y相互独立 f(x,y)=fx(x)f,(y)p=0.推论对于二维正态变量(X,Y)，X和Y相互独立的充要条件是p= 0.001018不不个高等数学工作堂不个

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福二、n个随机变量的相互独立性定义n 维随机变量（X,,X,..,X,)的分布函数为F(x1,x2,..,x.) = P(X ≤xi,X, ≤ x2,.-, X, ≤x.3,其中x,x,,x,为任意实数.若存在非负函数 f(xj,x,,",x,)，使对于任意实数x,,x,,,x,均有F(,,.)- . (,x,.,x,)dxdx, dx,则称f(xi,xz,,x,)为(X,,X,,,X,)的概率密度函数(Xi,X,,,X,）关于Xi、（Xi,X2）的边缘分布函数分别为Fx (x))= F(xi,00,00,,00), Fx.x, (x1,x2) = F(,X2,00, 00,..,00).(X,X2,·",X,)关于XiI、（Xi,X2）的边缘概率密度函数分别为fx (x)=.. f(x,x2,,x, dx,dx,..dx,f xx, (xx,)- I ... f(x,x2. x, dxdx...dx..001018个不不高等数学工作室不不不

高等数学工作室 7      xn xn x x x xn dx dx dxn f 1 1 ( , , , ) ,  1 2  1 2

若对于所有的x,,x2,,x,，有F(x1,x2,..,x.) = Fx (x)Fx (x2)... Fx, (xn)则称X,X,.,X,是相互独立的.若对于所有的xi,X,,.,Xm,yi,y2,.,y,有F(Xi,X2,..,xm,yi,y2,..,yn) = F(Xi,X2,..,xm)F2(yi,y2,..,yn),则称随机变量(X，.·,X.)和(Y,.·,Y,)是相互独立的，其中F,F,,F依次为随机变量(X,..,Xm)、(Y.,Y,)和(X,X,....,Xm,Y,Y,....,Y,)的分布函数.定理设(Xi,X,,..,Xm)和(Yi,Y2,..,Y,）相互独立，则X,(1,2,·,m)和Y,(j =1,2,...,n)相互独立.又若 h,g 是连续函数，则h(X,,Xz,,Xm）和g(Y,Y,,.,Y,）相互独立.0008中个不个高等数学工作室不个

高等数学工作室 8

习题1、设随机变量(X,Y)的分布律为X1L2(1)求α与β应满足的条件;11T36(2)如果X与Y相互独立，求α与β的值12α913β18000不不不高等数学工作室不不个

高等数学工作室 9 3 1 X Y 2 3  6 1 1 2  1 9 1 18 1

1、设随机变量(X,Y)的分布律为XY12(1）求α与β应满足的条件；11163(2)如果X与Y相互独立，求α与β的值12α提示 (1)α+β=9133β18(2)α=,β=000810个不个高等数学工作室不个

高等数学工作室 10 3 1 X Y 2 3  6 1 1 2  1 9 1 18 1