山东理工大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第一章 事件的独立性

第一章随机事件与概率S4事件的独立性两个事件的独立性二、三个事件的独立性08

第一章 随机事件与概率 §4 事件的独立性 一、两个事件的独立性 二、三个事件的独立性

?、两个事件的独立性引例设试验E为“抛甲、乙两枚硬币，观察正反面出现的情况”设A=I甲币出现H)，B=乙币出现H)}，S-{HH，HT，TH，TT}，A=HH,HT?,B-HH,TH, AB=HH、 P(B)-2-号, P(4B)=→, P(B[4)-则P(A) =P(AB) = P(A)P(B)显然, P(BA)= P(B),0008不不不高等数学工作堂不不不

高等数学工作室 2 , 2 1 , P(B | A)  2 1 4 2 P(B)   , 4 1 P(AB)  P(AB)  P(A)P(B)

定义 1.4.1 设A,B 是两事件，如果满足等式P(AB)= P(A)P(B)5则称事件A,B相互独立，简称A,B独立定理 1.4.1设A,B是两事件，且P(A)>0,则事件 A,B 相互独立的充分必要条件是P(B|A)= P(B)本定理由同学自行证明定理 1.4.2下列各对事件A 与 B、A与 B、A与B、A与B中，若有一对相互独立，则其余三对也相互独立证这里仅就一种情形给出证明不妨假设A与 B相互独立，下证A与B也相互独立: P(AB) = P(A- AB) = P(A) - P(AB) = P(A)- P(A)P(B)= P(A)[1-P(B)) = P(A)P(B), 故 A 与B 也相互独立.008个不个高等数学工作室不个

高等数学工作室 3  P(AB)  P(A)  P(AB)  P(A)  P(A)P(B)  P(A)[1 P(B)]  P(A)P(B),  P(A AB)

?例1甲、乙两人同时应聘一个工作岗位（招聘人数不限），若甲、乙被聘用的概率分别为0.5和0.6.两人被聘用是相互独立的，则招聘成功的概率是多少？解设A表示甲被应聘，B表示乙被应聘P(AUB)= P(A) + P(B)- P(AB) = P(A)+ P(B)- P(A)P(B)=0.5+0.6-0.5×0.6 =0.8.思考如果前提条件改为招聘人数为1人，则招聘成功的概率是多少?提示0.5001018个不个高等数学工作室个

高等数学工作室 4 P(A B)  P(A)  P(B)  P(AB)  P(A)  P(B)  P(A)P(B)  0.5  0.6  0.5 0.6  0.8

二、三个事件的独立性定义 1.4.2设A,B,C是三个随机事件，如果满足等式P(AB)= P(A)P(B)P(BC) = P(B)P(C)P(AC)= P(A)P(C)P(ABC)= P(A)P(B)P(C)则称事件 A,B,C相互独立特别地，设A.B,C是三个随机事件，如果满足等式P(AB)= P(A)P(B)P(BC) = P(B)P(C),P(AC)= P(A)P(C)称事件 A,B,C两两独立eo8个个个高等数学工作室不不个

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?定义 1.4.3设A,,A2,…,A,是 n 个事件(n≥2)，如果对于其中任意k(2≤k≤n)个事件A,,A,,..,A, 均有P(A, A, ...A,)= P(A,)P(A, )... P(A, ),则称A,,A,,….,A,相互独立.由定义，可以得到两个推论：推论 1.4.1 若事件A,A,,……:,A,相互独立，则其中任何 k(2≤k≤n)个事件也相互独立推论 1.4.2 若事件A,A,,,A,相互独立，,则将其中任何 k(1<≤k≤n)个事件换成它们的逆事件所得n个事件还相互独立说明两事件相互独立是指其中一个已发生，不影响另一个发生的概率.在实际应用中，事件的独立性常根据事件的实际意义去判断，一般，若由实际情况分析，事件A、B没有关联或关联很弱，那就认为它们是相互独立的.0008中个不个高数学工作室不不不

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例 2盒子中有编号 1,2,3,4 的四只球，随机地自盒子中取一只球，事件A表示“取到的球是1号或2号球”，事件B表示“取到的球是1号或 3 号球”，事件 C表示“取到的球是 1 号或 4 号球”.考虑事件A,B,C之间的独立性解P(A)= P(B)= P(C)=P(AB) = P(BC)= P(AC) = P(ABC) =A: P(AB)= P(A)P(B), P(BC) = P(B)P(C), P(AC)=P(A)P(C),..事件 A,B,C 两两独立，: P(ABC) ± P(A)P(B)P(C),:.事件A,B,C不能相互独立008不不不高等数学工作堂不不不

高等数学工作室 7 , 2 1 P(A)  P(B)  P(C)  , 4 1 P(AB)  P(BC)  P(AC)  P(ABC)  P(AB)  P(A)P(B), P(BC)  P(B)P(C), P(AC)  P(A)P(C), P(ABC)  P(A)P(B)P(C)

例3加工某一零件需要经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为0.02，0.03，0.05，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率解设A,(i=1,2,3)表示i第道工序出次品；表示加工的零件为次品，P(B)= P(A, UA, UA,) =1- P(A, UA, UA,)=1- P(A,)P(A,)P(A,) =1-[1- P(A)I[1 - P(A)I[1- P(A,))= 1-[1 - 0.02][1 - 0.03][1 - 0.05] = 0.09690008不不不高等数学工作堂不不个

高等数学工作室 8 ( ) ( ) P B  P A1  A2  A3 1- ( )  P A1  A2  A3 1- ( ) ( ) ( )  P A1 P A2 P A3 1 [1- ( )][1 ( )][1 ( )] P A1 P A2 P A3  -    1-[1- 0.02][1 0.03][1 0.05]  0.0969

业例 4某厂家生产的每台仪器，以 0.7 的概率可以直接出厂，以 0.3 的概率需进一步调试，经调试后以0.8的概率可以出厂，以0.2的概率定为不合格产品不能出厂。求（1）一台仪器可以出厂的概率；（2）假设该厂每天可生产5台仪器（各台仪器的生产过程相互独立），仪器全部能出厂的概率解设A表示“仪器最终可以出厂”，B表示“仪器可直接出厂”，则(1)P(A)= P(B)P(A| B)+ P(B)P(A|B) = 0.7 ×1 + 0.3 ×0.8 = 0.94.（2）设A,(i=1,2,3,4,5)表示“生产的第i台仪器最终可以出厂”，C表示仪器全部出厂，则P(C) = P(A,A,AA,A) = P(A)P(A,)P(A,)P(A)P(A,)= 0.945 = 0.73390008中不不不高等数学工作室不不个

高等数学工作室 9 (1)P(A)  P(B)P(A| B)  P(B)P(A| B)  0.71 0.3 0.8  0.94. ( ) ( ) P C  P A1A2A3A4A5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )  P A1 P A2 P A3 P A4 P A5 5  0.94  0.7339

习题1、甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4,0.5,0.7，飞机被一人击中而被击落的概率为0.2，被两人击中而被击落的概率为0.6，若三人都击中飞机必定被击落，求飞机被击落的概率解 设 A、B、C 分别表示甲、乙、丙三人击中飞机，A,(i=0,1,2,3)恰有i人击中飞机，D表示飞机被击落:. P(A,) = P(ABCUABCU ABC)= P(A)P(B)P(C)+ P(A)P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C) = 0.36P(A,) = P(ABCUABCUABC)= P(A)P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C) = 0.41.P(A,) = P(ABC) = P(A)P(B)P(C) = 0.14.P(D) = P(A,)P(D [A,)= 0 + 0.36 × 0.2 + 0.41×0.6 + 0.14 ×1 = 0.458.i=0000810个不个高等数学工作室不个

高等数学工作室 10  0.36. ( ) P A2  P(A)P(B)P(C)  P(A)P(B)P(C) ( )  P A1  P(A)P(B)P(C)  P(A)P(B)P(C)  0.41.  P(ABC  ABC  ABC)  P(ABC  ABC  ABC)  P(A)P(B)P(C)  P(A)P(B)P(C) ( ) P A3  P(ABC)  P(A)P(B)P(C)  0.14. ( ) ( ) ( | ) 0  0.36 0.2  0.41 0.6  0.141  0.458. 3 0 i i P D P Ai P D A  