山东理工大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第三章 边缘分布

第三章多维随机变量及其分布S2边缘分布边缘分布函数二维离散型随机变量的边缘分布三、二维连续型随机变量的边缘分布08

第三章 多维随机变量及其分布 §2 边缘分布 一、边缘分布函数 二、二维离散型随机变量的边缘分布 三、二维连续型随机变量的边缘分布

一、边缘分布函数定 义 3.2.1 设二维随机变量(X,)的分布函数为 F(x})，则Fx(x)= P(X≤ x}= P[X ≤ x,Y<80} = F(x,80)称为二维随机变量(X,Y)关于X的边缘分布函数，F()=PY≤y}=PX<,Y≤)=f(o0,J)称为二维随机变量（X,Y）关于Y的边缘分布函数0008不不个高等数学工作堂不个

高等数学工作室 2

?例1设二维随机变量(X,Y)的分布函数为1-e-x -e-" -e-x-y-ixyx>0,y>0F(x,y) =其他0则这个分布被称为二维指数分布，其中参数入>0，求边缘分布函数解x>0Fx(x) = F(x,+o0)其他’0J>01-e-Fy(y) = F(+o0, J)其他0说明二维指数分布的两个边缘分布都是一维指数分布；联合分布可以决定边缘分布，边缘分布不能决定联合分布6oog不不不高数学工作堂不不

高等数学工作室 3 F (x)  F(x,) X , 0 1 0        其他 e x x F ( y) F( , y) Y   . 0 1 0        其他 e y y

二维离散型随机变量的边缘分布定义3.2.2设二维离散型随机变量（X,Y）的分布律为P[X = x,,Y = y, = pi,i, j= 1,2,...称它关于 X的边缘分布律为 P([X=x}= P, = P.， i=1,2,,关于 Y 的边缘分布律为 P(Y =y,} = Z Pij = P.j，j=1,2,.XxiX2xYp11P 21pilVP 12P 22pD：yppjP2j0008个不个高等数学工作室不个

高等数学工作室 4 { }j P Y  y { } P X  xi     j 1 pij ,  pi i  1,2,, ,   p j    i 1 pij j  1,2,. X Y x 1 x 2  x i  1 y 2 y  j y  p 11 p 12  p 1 j  p 21 p 22  p 2 j     p i 1 p i 2  p ij    

XxiX2xpipiyP 21P 12P22pDXxix 2xpYVP0008个不个高等数学工作室个

高等数学工作室 5 X Y x 1 x 2  x i  1 y 2 y  j y  p 11 p 12  p 1 j  p 21 p 22  p 2 j     p i 1 p i 2  p ij     X x 1 x 2  x i  p k p 1  p 2   p i   Y 1 y 2 y  j y  p k p  1 p  2  p  j 

例2箱子装有10件产品，其中2件为次品．每次从中任取一件产品（不放回），共取2次．记[0第一次取出正品[0第二次取出正品X=第二次取出次品[1第一次取出次品求：(1）(X,Y)的分布律；(2）（X,Y)关于X的边缘分布律8287P(X = 0,Y =1}=解 (1) P(X = 0,Y = 0) 二10910^92128P(X = 1,Y = 1)P(X =1,Y = 0)10*910*9'X10Y01X(2)82840Pk454555814545oog不不不高等数学工作室不不个

高等数学工作室 6 P{X  0,Y  0} , 9 7 10 8   P{X  0,Y  1} , 9 2 10 8   P{X  1,Y  0} , 9 8 10 2   P{X  1,Y  1} , 9 1 10 2   X Y 0 1 0 1 45 28 45 8 45 8 45 1 X 0 1 p k 5 4 5 1 (2)

三、二维连续型随机变量的边缘分布定义 3.2.3设连续型随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,J),它关于 的边缘分布函数为 Fx(x) =F(x,oo)=[_If(x,J)dyldx,称它关于X的边缘概率密度为fx(x)=「f(x,y)dy它关于 Y 的边缘分布函数为 F,(y) = F(oo,J) =[_lf(x,y)dxly,称它关于Y的边缘概率密度为f,(y)=「f(x,y)dx0008个不个高等数学工作室不个

高等数学工作室 7 F (x) X  F(x,) [ f (x, y)dy]dx, x     F ( y) Y  F(, y) [ f (x, y)dx]dy, y    

例2设随机变量X和Y具有联合概率密度J(1,1)[6, x?≤y≤xf(x,y) =V-[o,其它七求边缘概率密度fx(x),f(y)0x解 fx(x) =[ f(x,y)dy[, 6dy =6(x-x)0≤x≤1其它01fr(y)= f(x, y)dx6dx = 6(/y - y)0≤≤1其它x008eoo8个不个高等数学工作室不个

高等数学工作室 8 y  x 2 y  x O x y (1 ,1 ) f (x) X f x y dy    ( , )     0 其它 0  x  1  x x dy 2 6 6( ) 2  x  x y  x 2 y  x O x y (1 ,1 )     f x y dx   fY ( y)  ( , )  6( y  y) 0 其它 0  y  1  y y 6dx

例3设二维随机变量(X,Y)的概率密度为[a--2-y-m(-)12(1-p202f(x,y)=2元0,02 /1-p2其中μi,μ2,;,2,p都是常数，且, >0,, >0,-1<p<l,称(X,Y)服从参数为μ,μ2,,,2,p的二维正态分布，并记为(X,Y)～N(μi,μ2,,2,p)试求(X,Y)的边缘概率密度_(x-M,)2(y-μ2)21201202fx(x)=fr(y) =~2元01~2元02说明二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布；联合分布可以决定边缘分布，边缘分布不能决定联合分布001018中不个高等数学工作堂不个

高等数学工作室 9 , 2π 1 ( ) 2 1 2 1 2 ( ) 1 σ x μ X e σ f x    . 2π 1 ( ) 2 2 2 2 2 ( ) 2 σ y μ Y e σ f y   

习题e-y00Je'dy =e-x其它0Vf,(y) = f(x,y)dxy=xy>0e-"dx = ye-其它00x0010个个个高等数学工作室不不个

高等数学工作室 10 解 (1)     y  x O x y f x f x y dy X   ( )  ( , ) 0 其它 x  0 e dy x y   x e   y  x O x y fY y f x y dx   ( )  ( , )     0 其它 y  0 e dx y y   0 y ye  