山东理工大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第七章 参数的区间估计

第七章参数估计S3参数的区间估计区间估计的基本思想一单个正态总体参数的区间估计三、两个正态总体参数的区间估计四、单侧置信区间08

第七章 参数估计 §3 参数的区间估计 一、区间估计的基本思想 二、单个正态总体参数的区间估计 三、两个正态总体参数的区间估计 四、单侧置信区间

、区间估计的基本思想引例在估计某鱼池中鱼的数量时，我们随机抽样得到一组样本观测值，利用点估计得出鱼的数量为3.000条.事实上，鱼的数量的真实值可能大于3.000条，也可能小于3.000条.如果能给出一个估计区间且带有一定的可信度则更有说服力，这样形式的估计显然更有实用价值对于一个未知量，人们不仅要知道它的近似值，还需要估计误差，即要求知道近似值的精确程度（亦即真值所在的范围）同样，对于未知参数0，除了知道它的点估计外，还希望估计出一个范围，并希望知道这个范围包含未知参数真值的可信程度这样的范围常以区间的形式给出，这种形式的估计称为区间估计，这样的区间称为置信区间00中个不个高等数学工作室个

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定义 7.3.1设总体X的分布函数为F(x:の)，未知参数O E?(①是 θ 的可能取值范围).对于给定值α(0<α<1),若由来自X的样本X,X,，·,X确定的两个统计量0 = 0(X,X,,..,X,)和 =0(X,,X,,...,X,)(0<0)对于任意0E使P[0(X,,X,,..,X,)<0<0(X,X,,..,X,))≥1-α成立,则称(0,)是0的置信水平为1-α 的置信区间，0和θ分别称为置信水平为1－α的双侧置信区间的置信下限和置信上限，1－α为置信度（或置信水平)说明1°置信区间的意义给定置信度1－α，如果进行n次随机抽样，则可以得到n个置信区间，其中包含0真值的约占100(1一α)%，不含0真值的约占100α%2°对于置信度1－α的理解置信区间(0,の)是随机区间，参数 0 是未知的常量，不能说“参数0以1一α的概率落在区间(,の)内”，应该说“区间(0,0)以1-α的概率包含参数0中0008福不不不高等数学工作室不不

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?3°评价一个置信区间（0.0）优劣的两个要素（1）估计的精度：用置信区间的长度θ－θ来刻画，长度越小，精度越高.（2）估计的可靠性：一般地，增大样本容量可以提高估计的可靠性也就是置信度在实际中样本容量一定的情况下，置信区间的精度较高而置信度较小，精度较低而置信度较大4°处理办法先考虑估计的可靠性，即要求置信区间（0,0)达到1一α的置信度：在这一前提下，使区间(0,の)的精度尽可能地高，即使区间(①,の)的长度尽可能地短008个不个高等数学工作室个

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推导公式总体X~N(u,α2)，α2已知，μ未知，X,X,,..,X,是来自总体X的样本，求u的置信水平为1一α的置信区间X-μ~ N(0,1),解因o(x)o/nP(a<X_μ<b )=1 -αMi-ab = zα12- Zα/2 = aXeo8不不个高等数学工作堂不个

高等数学工作室 5 P  b   1   , n X a     /   / 2  z 1 a b (x) y  z / 2  x 2  2 

推导公式总体 X~N(μ,α2)，α"已知，μ未知，X,X,,,X,是来自总体X的样本，求u的置信水平为1一α的置信区间，tyX-μ解因N(0,1)(0(x)a/nQαX-μP(-zαl2< zα/2} =1 -α,<g//nX-H<za.) =1-αZα12XZα12p O置信区间x-X±zα/2, X+-记为zα/20008不不不高等数学工作堂不不不

高等数学工作室 6 , , / 2 / 2             z n z X n X . / 2          z n X  / 2 z 2  2  1 (x) y  z / 2 x P    1   , / 2 /    z n X   } 1 , / { / 2 / 2            z n X P z

求置信区间的一般步骤：(1)寻求一个样本X,X,,,X，和θ的函数W=W(X,,X,..,X,;0)，使 W 的分布不依赖0及其它未知参数，称具有这种性质的函数 W为枢轴量(2)对于给定的置信水平1-α，定出两个常数α、b使P(a<W(Xr,X2,..,Xn;0)<b)≥1-α(3) 若能从 a<W(X,,X2,..,X,;0)<b等价地解出 <0<0,那么(,0)就是0的一个置信水平为1一α的置信区间001018个不个高等数学工作室不个

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例1某旅行社为了解当地旅游人群的每日消费情况，随机访问了36名旅游者，得知平均消费额为160元，根据以往经验，已知旅游者的消费额X（以元计）服从正态分布N（u.202），试求当地旅游者平均消费额u的置信度为0.90的置信区间P3α/2, X+解Za122020= (154.5, 165.5)160×1.65×1.65, 160 +/36V360008不不个高等数学工作堂不个

高等数学工作室 8        / 2  / 2 ,     z n z X n X           1.65 36 20 1.65, 160 36 20 160  154.5, 165.5

二、单个正态总体参数的区间估计10均值u的置信区间设X,X,.,X,为来自总体N(μ,α")的一个样本，1-α为置信水平,X.S?分别为样本均值和样本方差(a)已知α2，估计μ总体期望μ的置信水平1－α置信区间为X+%an)008个不个高等数学工作室个

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例 2#设成年男性的肺活量X（单位：毫升)服从正态分布N（u,3502）测得25位成年男性的平均肺活量为3640毫升，试据此数据求总体均值的置信水平0.95的置信区间9OX-X+解Zα/2'0Za/2VnVn350350= (3502.8, 3777.2)3640×1.96×1.96,3640+/25/2500810不不不高等数学工作堂不不

高等数学工作室 10        / 2  / 2 ,     z n z X n X           1.96 25 350 1.96, 3640 25 350 3640  3502.8, 3777.2