山东理工大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第六章 抽样分布

第六章统计量及其分布s3抽样分布一、分布二、t分布三、F分布08

第六章 统计量及其分布 §3 抽样分布 一、 分布 二、t 分布 三、 F 分布 2 

%分布统计量服从的分布称为抽样分布1、定义定义 6.3. 1 设X,,X,,,X,是来自总体 N(0,1）的一个样本，则称统计量×2=X2+X, +.…:+X,服从自由度为 n 的×2分布，记为×2～(n)自由度指定义式中包含的独立变量的个数概率密度曲线1随着n的增大，密度曲线逐渐趋于平缓、对称008不不不高等数学工作堂不不不

高等数学工作室 2 x y

+2、性质性质1°（可加性）设x～x(n,),x ～x(n,),并且x与,相互独立，则有x+～(n +n,)2°（期望和方差）设×2～(n)，则E(×2)=n，D(2)=2n3、2分布的上α分位点设2~(n),对于给定的正数α(0x(n)=α则称x(n)为x(n)分布的上α分位点ytf(x)当n充分大时，有近似公式：Xe(n)= n+ /2nz)Qx(n)~(za + /2n-1),AXa'(n)其中z是标准正态分布的上α分位点0008个不个高等数学工作室不个

高等数学工作室 3  ( ) 2  n x y f ( x) ( 2 1) , 2 1 ( ) 2 2   n  z  n  ( ) 2 , 2    n  n  nz

?yf(x)推导 因X,X,,.…,X,独立同分布，则X2,X,..,X2也独立同分布,a当 n 很大时，由大数定律知文Xa (n)=X?+X +..+X近似服从二"近似服从N(0,1),iSN(n,2n), 从而2nPrE-nn ≥za} = P[ ≥n+ /2nza}=α, :. x(n)~n+ /2nza2nx(m) n+/2mz。=n-++/2n-1k-(ca+/2n-1),0008个不个高等数学工作室不个

高等数学工作室 4  ( ) 2  n x y f ( x) } { 2 } , 2 {            z P n nz n n P ( ) 2 . 2    n  n  nz    (n) n 2nz 2      n z 2n 1z 2 1 2 1 2      ( 2 1) . 2 1 2  z  n 

福4、正态总体的样本均值与样本方差的分布性质设样本X,,X,,..,X,来自总体X，E(X)= u，D(X)=α2则E(X)= ,D(X)=2 / n, E(S2) =α2E(X)=E("Zx,) --ZE(X,) =μ,证ni=lD(X)=D(2x) -ZD(X,)-0,LiE(S)=El-(2x?-nX)1 =n-/2 E(X))- nE(X")2告2D(X)+(E(X,)1 -川D(X)+(E())"-{2(0*+") -m(g* / +"')| =0*il0008个不高数学工作室不不不

高等数学工作室 5 ) 1 ( ) ( 1   n i Xi n E X E ( ) 1 1   n i E Xi n  , ) 1 ( ) ( 1   n i Xi n D X D ( ) 1 1 2   n i D Xi n , 2 n   ( )] 1 1 ( ) [ 2 1 2 2 X nX n E S E n i i     { [ ( ) ( ( )) ] 1 1 1 2     n i D Xi E Xi n [ ( ) 1 1 1 2 2     n n i   [ ( ) ( ( )) ]} 2  n D X  E X . 2 ( / )]   2 2  n  n   [ ( ) ( )] 1 1 2 1 2 E X nE X n n i i    

S定理 6.3.1（样本均值的分布）设X,X,,…,X,是取自正态总体X-μ~ N(0,1)N(u,α2)的样本，则有 X ～ N(μ,，因而a/n证因X,X,，,X,服从正态分布，则X也服从正态分布，9E(X) -u, Di'2x1-12D(X)-0E2X1-2nnk=lnk=lnk=lk=l9X-μ~ n(0,1).因而有X～ N(u,进一步地,o /nn定理 6. 3. 2(样本方差的分布)设X,X,，,X,是取自正态总体(n -1)s2N(μu,α2)的样本，则有(1)～(n-1)；（2）X和s2相互独92立.0008中个不个高等数学工作室不不不

高等数学工作室 6 ] 1 [ 1 n k Xk n E ( ) 1 1   n k E Xk n  , ] 1 [ 1 n k Xk n D ( ) 1 1 2   n k D Xk n , 2 n  

新例 1 设X,X,,X,是来自正态总体X～N(0,α2)的样本，令==(X, +X,+X,)2+(X +X,+X)2，当 c为何值时，cE服从2分布解 E(X, +X, +X,)=0, D(X, +X, +X,)=3E(X, +X, + X.)= 0, D(X4 + X, +X,)= 3?c5=30*c(+X.+Xy+30'c(X+X+X),/3g/3g1.. 3g°c = 1, C=3g2例 2设样本Xi,X,,..,X,来自总体X，E(X)= μ, D(X)=α2,求D(S°).~x(n-1), .. D(n-1)s*解 .. (n-1)s2I = 2(n-1),92q?2g4(n-1) D(S") _= 2(n-1),D(s2)94(n-1)001018个不个高等数学工作室不个

高等数学工作室 7 ( ) 0, E X4  X5  X6  ) , 3 ) 3 ( 3 3 ( 2 1 2 3 2 2 4 5 6 2      X X X c X X X c c       ( ) 3 , 2 D X1  X2  X3   ( ) 3 , 2 D X4  X5  X6   3 1, 2   c  . 3 1 2  c  ~ ( 1), ( 1) 2 2 2   n n S    ] 2( 1), ( 1) [ 2 2     n n S D  2( 1), ( 1) ( ) 4 2 2    n n D S  . ( 1) 2 ( ) 4 2   n D S 

二、t分布1、定义定义 6. 3. 2设X～N(O,I),Y～(n)，且 X 与 Y 相互独立，则X服从自由度为 n 的t分布，记为T～t(n).YInf(x)概率密度曲线1说明关于轴对称；随着自由度的逐渐增大，密度曲线逐渐接近于标准正态密度曲线由此知P(T 0} =当 n 充分大时，t(n)分布近似于 N(O,1)80008个不不高等数学工作室不不不

高等数学工作室 8 x y f ( x )

2、t分布的上α分位点设T ~t(n),对于给定的α(0t(n))=α，则称t(n)为t(n)分布的上α分位点ti-α(n) = -t.(n).性质由分位点的定义及概率密度函数曲线的对称性易知当 n 充分大时，t(n)～ zαo08不不不高等数学工作堂不不不

高等数学工作室 9 ( ) ( ). t1 n  t n

?3、正态总体的样本均值与样本方差的分布定理 6. 3. 3(样本均值的分布)设X,X,,,X,是取自正态总体X-uN(μ,α2)的样本，则有~ t(n - 1)SnU分析~ t(n -1).V /(n-1)X-μ(n-1)s2证因U=N(0,1), Vx(n-1),92g/n又X与S相互独立，故U与V相互独立，UX-μ~t(n-1)， 即~ t(n -1).V /(n-1)Sn000810不不个高等数学工作室不个

高等数学工作室 10 ~ ( 1), ( 1) 2 2 2    n n S V  