山东理工大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第七章 估计量的评价标准

第七章参数估计S2估计量的评价标准无偏性原则有效性原则三、大相合性原则08

第七章 参数估计 §2 估计量的评价标准 一、无偏性原则 二、有效性原则 三、相合性原则

引言对同一个未知参数，采用不同的方法找到的估计量可能不同，那么，自然要问：究竞是用哪一个估计量更“好”些？下面介绍三个评价标准00018不不不高等数学工作堂不不

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一、无偏性原则设X,X,,X,是来自总体X的一个样本，θ是包含在X的分布中的待估参数，这里①是的取值范围定义 7.2.1 若估计量θ =0(X,,X,,,X,)的数学期望 E(0)存在，且对于任意θε①有 E(①)=，则称θ 是θ的无偏估计量，否则称为有偏估计量.说明无偏估计是指无系统误差，无偏估计不是唯一存在0008个不个高等数学工作室个

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S例 1设总体 X 的均值为μ，方差为2，，2为未知参数,Xi,X,..,X,是来自总体 X 的样本，试问X是否是u的无偏估计?(X,-X)是否是的无偏估计?i解E(X)-E(-ZX) -ZE(X,) =u,El(2x? -nx')] --(ze(X:)-ne(X)ni=ll-(2(D(X,)+(E(X,)1 -n[D(X)+(E(X)")ni=ln-11Z(o*+μ) -n(o' / n+μ")] -""(X,-X)不是°的无偏估计.故X是总体均值儿的无偏估计，ni=l001018不不高等数学工作室不不不

高等数学工作室 4 ) 1 ( ) ( 1   n i Xi n E X E ( ) 1 1   n i E Xi n  , ( )] 1 [ 2 1 2 X nX n E n i  i   { [ ( ) ( ( )) ] 1 1 2    n i D Xi E Xi n [ ( ) 1 1 2 2    n n i   [ ( ) ( ( )) ]} 2  n D X  E X , 1 2  n n  ( / )]  2 2  n  n   [ ( ) ( )] 1 2 1 2 E X nE X n n i   i  

说明设总体 X 的均值为μ，方差为α2，均未知，X,X,,,X,是来自总体X的样本E(S)-El,-,2(X,-X)1 =-El,""Z(X,-X)n-1-。2=。2，故S2是总体方差的无偏估计n-1定理 7.2.1 设总体 X的均值为μ，方差为α2,均未知，X,,X,,,X是来自总体X的样本，则X是总体均值u的无偏估计，S是总体方差~的无偏估计0008不不不高等数学工作室不不不

高等数学工作室 5 ( ) ] 1 1 ( ) [ 1 2 2     n i Xi X n E S E ( ) ] 1 1 [ 1 2      n i Xi X n n n E 1 2 1  n n n n     , 2  

S例2 设总体X的 k阶矩μ=E(X)(k≥1)存在,又设X,X,,…,XX是总体k阶矩μ的是来自 X的一个样本。试证明样本 k阶矩A,n1.1-1无偏估计量证因X,X,,..,X,是样本，知X,X,,...,X,与 X同分布，因而X,X,,..,X与X*同分布E(X')= E(X’)=... E(Xh)= E(X*)= μk,..E(A)-E(Zx)--ZE(X))-Mt,ni=lni=l,之xi 是总体 k 阶矩μ,的无偏估计量,样本 k 阶矩A,n i=l0008个不个高等数学工作室不个

高等数学工作室 6 ( )  E Ak ,  k ) 1 ( 1   n i k Xi n E ( ) ( ) ( ) ( ) , 1 2 k k k n k k E X  E X E X  E X   ( ) 1 1   n i k E Xi n

二、有效性原则设、é,都是θ的无偏估计量．因方差是随机变量的取值与其数学期望的偏离程度的度量，所以无偏估计以方差小者为好，如果在样本容量n相同的情况下，的观察值较,更密集在的真值附近，就认为较é,为理想.定义 7.2.2设0, = 0,(X1,X,..,X, )与0, =0,(X,,X2,...,X, )都是的无偏估计量,若对于任意θε①,有D()≤D(O,),且至少有一个0①使上式中的不等号成立，则称θ较é,有效001018个不不高等数学工作室不不不

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C例 3 设 Xi,X2,X,为来自总体 X 的样本，E(X)=μ，D(X)= α2，下列统计量中哪些是u的无偏估计量？在u的无偏估计量中，哪个更有效？0.-x++x, 0.-++x,+++. 0,-+x+gx-+x,解 E(0)=El,X++,XI-,E(X)+,E(X,)=u,E(X )+E(X,) = μE(0,)E(X,) +同理33325E(9,)=EE(X,)+E(X,)E(X,)=u,3故é,,,为μ的无偏估计量,D(0) -DlX++x,1--D(X,)+D(X,) -D(0)-,D(X)+,D(X,)+,D(X,)=0° /3而 D(0)> D(℃,)， ,较 更有效0008不个高等数学工作堂不个

高等数学工作室 8 ) ˆ ( E 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1  E X1  E X2 ]  , 2 1 2 1 [  E X1  X2 ) ˆ ( E  3 ) ˆ ( E  2  , ) ˆ ( D  2 / 3, 2   , 6 5   ( ) 3 1 ( ) 3 1 ( ) 3 1  E X1  E X2  E X3 ( ) 9 1 ( ) 9 1 ( ) 9 1  D X1  D X2  D X3 ( ) 3 1 ( ) 3 2 ( ) 2 1  E X1  E X2  E X3 ) ˆ ( D 1 ( ) 4 1 ( ) 4 1  D X1  D X2 , 2 2  ]  2 1 2 1 [  D X1  X2

三、相合性原则在参数估计中，样本容量n越大，则样本所含的总体的信息应该越多，应能更精确地估计总体的未知参数当n一→8时，估计量的取值和未知参数的真值应几乎完全一致，这就是估计量的相合性定义 7.2.3设é=(X,,X,,.,X,)是未知参数的估计量，若对于任意ε，当n→o时θ(X,,X,,,X)依概率收敛于θ，则称是θ的相合估计量，又称一致估计量说明（1）样本k 阶矩是总体阶矩的相合估计量，样本矩的连续函数是相应的总体矩的连续函数的相合估计量(2）相合性是对一个统计量的基本要求，若估计量不具有相合性，则不管样本容量n取多大，都不能将未知参数准确估计，这样的估计量是不可取的.估计量的相合性只有当样本容量相当大时，才能显示出优越性，这在实际中往往难以做到因此，在工程中往往使用无偏性和有效性这两个标准00108个不个高等数学工作室不不不

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S习题1、(1)设是参数的无偏估计，且D()>0，试证2不是2的无偏估计10<x≤0d中未知参数θ的最大似然估计量(2)证明均匀分布f(x)=00其他不是无偏的x(1-0)/00<x<1,0<0<+00,2、设总体概率密度为f(x;0)=3其他0X,X,,...,X,是来自总体X的样本，之(1)验证θ的最大似然估计量是 =In X,ni=l(2)证明日是0的无偏估计量00810个不个高等数学工作堂不不个

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