山东理工大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第一章 条件概率

第一章随机事件与概率s3条件概率条件概率乘法公式二三全概率公式四、贝叶斯公式08

第一章 随机事件与概率 §3 条件概率 一、条件概率 二、乘法公式 三、全概率公式 四、贝叶斯公式

-、条件概率例1，将一枚硬币抛掷两次，观察其出现正反两面的情况，设事件A为“至少有一次为H”，事件B为“两次掷出同一面”.现在来求已知事件A已经发生的条件下事件B发生的概率这里，样本空间为S-HHHT,TH,TT，事件A=HH,HT,TH！B=(HH,TT}, AB=(HH)P(A)=3, P(B)=2, P(AB) = IP(B[4)=}, P(B[4)= P(AB)P(A)008中不不不高等数学工作堂不不

高等数学工作室 2 , 4 3 P(A)  , 4 1 P(AB)  , 3 1 P(B | A)  . ( ) ( ) ( | ) P A P AB P B A  , 4 2 P(B) 

?P(AB)定义1.3.1 设 A,B是两个事件，P(A)>0，称P(B|A)=P(A)为在事件A 发生的条件下事件 B发生的条件概率性质 1.3.11° 非负性：P(BA)≥0,2° 规范性： P(SIA)=1,3°可列可加性：设B,B,，·是两两互不相容的事件,有P(UB, I A)= Z P(B, I A)i=1i=-1性质 1.3.21°P(OA)=1-P(Q/A),T2°1P(BA)=1-P(BIA)3°P(B, U B,|A)= P(B,|A)+ P(B,|A)- P(B,B,|A).001018不不高等数学工作室不不不

高等数学工作室 3 2  P(B A)  1 P(B | A), 3 ( ) ( ) ( ) ( ).  P B1  B2 A  P B1 A  P B2 A  P B1B2 A 1 P( A)  1 P( | A)

?例2根据以往的气象统计资料，某地四月份刮南风的概率为0.3，四月份下雨的概率为0.4.既刮风又下雨的概率为0.1.，分别求该地四月份在刮南风的条件下下雨的概率和下雨的条件下刮南风的概率解设A表示“刮南风”，B表示“下雨”，则P(A) = 0.3, P(B) = 0.4, P(AB) = 0.1,P(AB)0.1计算得P(BIA)P(A)30.3P(AB)0.1P(A|B)4P(B)0.40008不不不高等数学工作堂不不

高等数学工作室 4 P(A)  0.3, P(B)  0.4, P(B | A) ( ) ( ) P A P AB  0.3 0.1  , 3 1  P(AB)  0.1, P(A| B) ( ) ( ) P B P AB  0.4 0.1  . 4 1 

二、乘法公式乘法定理设P(A)> 0, 则 P(AB)= P(A)P(B|A).（乘法公式）推论 1.3.1 (1) 设P(AB)> 0，则P(ABC) = P(A)P(B|A)P(C|AB)(2) 设A,A,,..,A,为n 个事件，n≥2且P(AA, ...A,-)>0, 则P(A,A, ..A,) = P(A)P(A A)... P(A, IA,A, ...A.-)0008不不不高等数学工作室不不不

高等数学工作室 5

?例3超市开业,举行“看看谁的手气好”砸金蛋活动，台子上摆了30个金蛋,其中有5个金蛋中含有奖品，一次一人只能选一个金蛋砸，问第三个人才中奖的概率是多少？解设A(i=1,2,3)分别表示“第i个人中奖”，B表示“第三个人才中奖”，则P(B) = P(A,A,A) = P(A,)P(A, IA,)P(A, /A,A,)=[1- P(A)I[1- P(A, /A)]P(A, / A,A,)555~ 0.123.0012830290008不不个高等数学工作堂不个

高等数学工作室 6 P(B) ( )  P A1A2A3 ( ) ( | ) ( | )  P A1 P A2 A1 P A3 A1A2 28 5 ) 29 5 )(1 30 5  (1    0.123. [1 ( )][1 ( | )] ( | )   P A1  P A2 A1 P A3 A1A2

例4为了防止意外，某工厂车间配有两套发电机组A与B，机组A的有效率为 0.98，机组B 的有效率为 0.95，在机组 A 出故障（无效）的条件下机组B有效的概率为0.85，求两套机组至少有一个有效的概率解设A表示事件“电机组A有效”，B表示事件“电机组B有效”则 P(A) = 0.98, P(B)=0.95, P(B/A)= 0.85,P(AUB)= P(A)+ P(B)- P(AB) = P(A)+ P(B-AB)= P(A) + P(AB) = P(A)+ P(A)P(BA) = 0.98 + 0.02×0.85 = 0.997.0008不不个高等数学工作堂不个

高等数学工作室 7 P(A)  0.98, P(A B)  P(A)  P(B)  P(AB) P(B)  0.95, P(B | A)  0.85,  P(A)  P(B  AB)  P(A)  P(AB)  P(A)  P(A)P(B | A)  0.98  0.02 0.85  0.997

定义 1.3.2设S为试验 E的样本空间,B,B,，··,B,是E的一组事件若(i) B,B, =O (i j;i,j=1,2,..,n),(ii) B UB,U...UB, =S,则称B,B,,,B,为样本空间 S的一个划分若事件B,B,,.…,B,为样本空BB间S的一个划分，则对每次试验，B其中有且只有一个发生B8008个不个高等数学工作室个

高等数学工作室 8 B 2 B 1  B n  1 B n

-三、全概率公式性质 1.3.3 设 S 为试验 E 的样本空间，AC S，B,,B,,…,B,是 S 的一个划分， P(B,)>0(i=1,2,..,n),则P(A)= P(B)P(A B )+ P(B,)P(AIB,)+ ...+ P(B, )P(AIB, )（全概率公式）证因B,,B,,…,B,两两互不相容，故AB,,AB,…,AB,也两两互不相容，: P(A) = P(AS)= P(A(UB,) = P(UAB,) = Z P(AB,)i=l=人P(B,)P(A|B,)B,i=1B,ABAB,特别地，AABABP(A) = P(B)P(A|B)B.1-+ P(B)P(AIB)B001018不不高等数学工作堂不个

高等数学工作室 9  P(A)  P(AS)  n i P A Bi 1 ( ( ))    n i P ABi 1 ( )     n i P ABi 1 ( ) ( ) ( | ). 1   n i P Bi P A Bi A B1 B2 Bn1 B n AB2 ABn1 AB1 ABn

说明在很多实际问题中P(A)不易直接求得，但却容易找到S的一个划分，且P(B)和P(AIB,)或为已知或容易求得，那么就可以根据全概率公式求出P(A)把公式中 A看作果，而把 S的划分B,(i=1,2,·.·,n)看作因，则全概率公式反映的是“由因求果”的概率问题B,BzB"00810不不不高等数学工作堂不不

高等数学工作室 10 A B1 B2  Bn1 B n