《线性代数》课程教学资源（章节讲稿，C）2-5 矩阵的秩

2-5矩阵的秩对于一个方阵，是否可逆是一种质的区分；而对于普通矩阵，矩阵的秩是一种可以量化的数字特征。一、矩阵秩的概念定义1(矩阵的k阶子式)在m'n，在行列交叉点的k2个矩阵A中，任取衍kkhin(m,n)按原的相对位置组成的k阶行列式，称为矩阵A的一个k阶子式。2...1002例如矩阵A=c1..2-取第1、2行和第2、3列，得一个2阶子式A81 -b -2 -11O取第1、2行和第3、4列，得一个2阶子式A共有18个2阶子式24

2-5 矩阵的秩 对于一个方阵，是否可逆是一种质的区分；而对于普通矩阵，矩阵的秩是一种 可以量化的数字特征。 一、矩阵秩的概念 定义1 (矩阵的 k 阶子式) 在 矩阵 A 中,任取 k 行 k 列 ，在行列交叉点的 k 2 个元 素 按原来的相对位置组成的 k 阶行列式 ，称为矩阵 A 的一个 k 阶子式。 例如矩阵 取第1、2行和第2、3列，得一个2阶子式 取第1、2行和第3、4列，得一个2阶子式 A 共有 18 个2阶子式

定义2（矩阵的秩RankofMatrix）矩阵A的非零子式的最高阶数称为A的秩，记作R(A)20a210C3420例如矩阵A=六- 1S1-3- 2202阶子式不为零，且所有3阶子式全为零：34021220222110324= 0334422=01=01=01-3- 2-13- 2-3-11--. 2-11则 R (A) =2

定义2 （矩阵的秩 Rank of Matrix ） 矩阵 A 的非零子式的最高阶数称为 A 的秩，记作 R (A) 例如矩阵 2阶子式 不为零，且所有3阶子式全为零： 则 R (A) =2

思考结论（1）如何定义零矩阵的秩？(1) R(O)=0（2）矩阵的秩是否唯一？（2）矩阵的秩是唯一的(3)一个mn矩阵的秩的最大可能取值（3）R(A)fmin(m,n是？(4)若R(A)=r，则矩阵A的所有r阶子式全不为零吗?（5）若矩阵 A有一个r 阶子式不为零，则R(A)=r？R(A)>r？R(A)3r？（6）若矩阵A的所有r阶子式全为零，则R(A)=r？R(A)<r？若R(A)=r则矩阵A必有一个r阶子式不为零，且所有高于r阶的子式零

思考 （1）如何定义零矩阵的秩？ （2）矩阵的秩是否唯一？ （3）一个 矩阵的秩的最大可能取值 是？ 结论 （1） （2） 矩阵的秩是唯一的 （3） （6）若矩阵 A 的所有 r 阶子式全为零，则 （4）若 ， 则矩阵 A 的所有 r 阶子式全不为零吗 ？ （5）若矩阵 A 有一个 r 阶子式不为零，则 若 ，则矩阵 A 必有一个 r 阶子式不为零，且所有高于 r 阶的子式全为 零

矩阵A的秩矩阵中不为零的子式的最高阶数，记为R(A)说明：矩阵A的秩等于r存在不为零的r阶子式同时所有的r+1阶子式全部为零加油！

矩阵A的秩 矩阵中不为零的子式的最高阶数，记为R(A). 说明：

单选题1分设置若r(A)=n，则矩阵A的所有k（k≤n）阶子式全不为0.对错提交

对 错 A B 提交 单选题 1分

单选题1分设置n阶方阵A有一个3阶子式不为零，则A的秩（）R(A) = 3R(A) ≤3R(A) ≥ 3R(A) < 3提交

A B C D 提交 单选题 1分

2acl- 1-109二012 :例1求矩阵A=c3的秩.一S143-101-1=410解：观察可见（A的秩至少是2）312-11且故 R(A)=3301=121 013-1说明用定义求矩阵的秩，需要计算一些子式的值是否为零，计算量较大。矩阵的初等变换可能改变其子式的数值，但不会改变子式的值是否为零，因此考虑用初等变换方法讨论矩阵的秩

例1 求矩阵 的秩. 解： 观察可见 ( A 的秩至少是2) 且 故 说明 用定义求矩阵的秩，需要计算一些子式的值是否为零，计算量较大。 矩阵的初等变换可能改变其子式的数值，但不会改变子式的值是否为零，因此 考虑用初等变换方法讨论矩阵的秩

二、矩阵秩的计算定理1初等变换不改变矩阵的秩证明先证明：矩阵A经过一次初等行变换变为B，购(A)fR(B设R(A)=r，则A的某个r阶子式,10当A%5%/4?B或A%4B时,在B中总能找到与D,相对应的子式D由于D,=D或 D,=-D,或 D,=kD,，因此D,IO，从而 R(B)3r当A%?B时，分三种情况讨论：（1）D中不含第j行；D, =D,I 0 R(B)3 r（2）D中含第i行及第i行；（3）D中含第行但不含第i行；

二、矩阵秩的计算 定理1 初等变换不改变矩阵的秩。 证明 先证明：矩阵 A 经过一次初等行变换变为 B ，则 设 ，则 A 的某个 r 阶子式 当 或 时，在 B 中总能找到与 相对应的子式 由于 或 或 ， 因此 ，从而 当 时，分三种情况讨论： （1） 中不含第 j 行； （2） 中含第 j 行及第 i 行； （3） 中含第 j 行但不含第 i 行；

对于情形（3），D中含第i行但不含第i行LL11=kD, +D,kr, +r,=kkr, +rrLLLD =D,10R(B)3r1CD.不含第i行,B中有不含第i行的r阶非零子式，R(B)3r即得：矩阵A经过一次初等行变换变为B账(A)fR(B）同理，矩阵B经过一次初等行变换变为A，故R(B)fR(A)因此 R(A)= R(B)矩阵经过有限次初等行（列）变换后，其秩不变

对于情形（3）， 中含第 j 行但不含第 i 行， 不含第 i 行, B 中有不含第 i 行的 r 阶非零子式， 即得：矩阵 A 经过一次初等行变换变为 B ，则 同理，矩阵 B 经过一次初等行变换变为 A ，故 因此 矩阵经过有限次初等行（列）变换后，其秩不变

观察下列行阶梯形矩阵的秩22-12-1a3a3- 10a3-10-100022S000004900200C矩阵秩的计算方法：用初等变换化矩阵为行阶梯形，非零行的行数（或阶梯的个数）即为矩阵的秩

观察下列行阶梯形矩阵的秩 矩阵秩的计算方法： 用初等变换化矩阵为行阶梯形，非零行的行数（或阶梯的个数）即为矩阵的秩