《线性代数》课程教学资源（讲稿B，高教版）第三章 n维向量空间 3-2 向量组的线性相关性

向量组的线性相关性3-2引入(2, 1,-3, 0)021-31°矩阵的行向量组(-1,1, 3, 2)32-11(1, 2, 0, 2)2120量8, = (1, 0, 0), 82 =(0, 1, 0), c, =(0, 0, 1)2°在3维向量空间R3中，三个坐标向量任一向量α=(,）都可以表示为α=3°线性方程组α+α+

3-2 向量组的线性相关性 引入 1°矩阵 的行向量组             1 2 0 2 1 1 3 2 2 1 3 0 2°在3维向量空间 R 3 中，三个坐标向量 1, 0, 0, 0,1, 0, 0, 0,1  1   2   3  任一向量   (a1 ,a2 ,a3 ) 都可以表示为 1 1 2 2 3 3   a   a   a  3°线性方程组                1 1 3 1 2 1 1 0 1 2 1 4 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x (1, 2, 0, 2) ( 1,1, 3, 2) (2, 1, 3, 0)   1  2  3  b

一、向量组的线性组合定义1给定向量组αiα2,αmβ，若存在一组数k,kz,km，使得β=k,a,+k,a,+..+kmam则称向量β是向量组α,α2αm的线性组合，或称向量β可由向量组α,α2,αm线性表示。所有αi,α2,,αm的线性组合的集合用L(αi,α2，,αm)表示。例如,向量组α,=(2,1,-3,0)，α2=(-1,1,3,2)，β=(1,2,0,2)因为β=α,+αz，所以β是αi,α,的线性组合。注1°零向量是任一向量组的线性组合。2°向量组α1,α2，"",αm中任一向量都可由这个向量组线性表示α, =0αf +.+0α,- +lα, +0αi++ +..+0αm3°R"=L(,82,"",8n)

定义1 给定向量组 1 ,2 ,  , m , ，若存在一组数 ，使得 一、向量组的线性组合 m k , k , , k 1 2  m m   k1 1  k2 2  k  则称向量 是向量组 的线性组合，或称向量 可由向量组 线性表示。所有 的线性组合的集合用 表示。     m , , , 1 2      m , , , 1 2     m , , , 1 2  ( , , , ) L 1 2   m (2, 1, 3, 0) ( 1,1, 3, 2) (1, 2, 0, 2) 例如，向量组 1   ，2   ，  因为  1 2 ，所以  是 1 ,2 的线性组合。 注 1° 零向量是任一向量组的线性组合。 3° R ( , , , ) 1 2 n L n     2° 向量组 1 ,2 ,  , m 中任一向量都可由这个向量组线性表示。 1 1 1 0 0 1 0 0 .       i i i i m         

R" = L(),62,"",8n),（o)1000001即，任一n维向量均可由Sj,&2,8线性表出。(,X2,.,Xn)= XG +X282 +..+Xnn设αj, α2, .., αm ER", 则 L(αi,α2, .., αm) 为 R"的一个子空间——由αi，αz，…，αm生成的子空间

即，任一n维向量均可由 线性表出. 设1 , 2 , ., m Rn , 则 L(1 ,2 , ., m) 为 Rn 的一 个子空间——由1 , 2 , ., m 生成的子空间. 1 2 1 2 ( , , , ), 1 0 0 0 1 0 , , , . 0 0 1 n n n L                                               R 1 2 , , , n    1 2 1 1 2 2 ( , , , ) . n n n x x x x x x       

线性方程组的向量表示a11xi+a12x2+.bi,ainna21xi+a22x2+..+a2nXn=b2bmaml.i+am2x2+.+Hamxn=-axBax+aαi+XiA = (αi, α2, ..., an)

    1 1 2 2 x  x   x   n n 线性方程组的向量表示                    . , , 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b m m mn n m n n n n     A = (1 , 2 , ., n )

定理1设A=(αi,α2,……，αn),则下列命题等价：10 b e L(α1, α2, ..., αn);2° AX=b有解;30 R(A)= R(A)( 或R(A:b)= R(A)证1°≤2°: beL(αj, α2,..., αn)有数x, X2, .. Xn使得 xa+xα,++x,α,=bXixX2X(αi,α2,",αn)=b,AX=b有解X=x

定理1 设 A = (1 , 2 , ., n ), 则下列命题等价： 1 o b  L(1 , 2 , ., n ); 2 o AX = b有解; 3 o 证 1 o 2 o：bL(1 , 2 , ., n ) 有数 x1 , x2 , ., xn 使得 R A R A A b R A ( ) ( ). R )   （或     1 1 2 2 , n n x x x b        1 2 . n x x AX b X x               有解 1 2 1 2 ( , , , ) , n n x x b x                

d,CinC1s2°←30 设R(A)=r.::d.CrsCrm行初等变换A-=(B,d)dr+10.0AX=b与BX=d同解所以 AX= b有解台 dr+1 =0 台R(B, d)=R(B)= r R(A) = R(A)

2 o 3 o 设 R(A) = r, AX = b与BX = d 同解. AX = b有解  dr+1 = 0  R(B, d) = R(B) = r  R A R A ( ) ( ).  11 1 1 1 1 ( , ), 0 s n rs rn r r c c c d c c d A B d d O                      行初等变换 所以

ax,+ax,+..+ainx,=ba21+a22x+..+a2nx,=b,[amX,+am2X, +...+ammX,=b,branjb2azji=1,2,..,nβ=.bm)ami)xia +x,α, +...+x,α, = β

                   m m m n n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b     1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1,2, , j j j mj a a j n a                  1 2 m b b b                1 1 2 2 n n x x x       

β=x,α, +x,α, +...+x,αn（1）线性方程组有唯一解时，β能由向量组α1,α,……,α,线性表示且表达式唯一;（2）线性方程组有无穷多解时，β能由向量组α1,α……，α,线性表示且表达式不唯一;（3）当线性方程组无解时,β不能由向量α1,α2....,αm线性表示

（1）线性方程组有唯一解时， 能由向量组 1 ,2 ,., n线性表示且表达式唯一； （3）当线性方程组无解时, 不能由向量 1 ,2 ,., m线性表示。 = 1 1 2 2 n n     x x x   （2）线性方程组有无穷多解时， 能由向量组 1 ,2 ,., n线性表示且表达式不唯一；

单选题1分设置非齐次线性方程组Ax=b中未知量个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则下述结论正确的是（）r=n时，方程组Ax=b有唯一解m=n时，方程组Ax-b有唯一解r<n时，方程组Ax=b有无穷多解r=m时，方程组Ax=b有解提交

非齐次线性方程组Ax=b中未知量个 数为n，方程个数为m，系数矩阵A的 秩为r，则下述结论正确的是（ ） r=n时，方程组Ax=b 有唯一解 m=n时，方程组Ax=b 有唯一解 r<n时，方程组Ax=b 有无穷多解 r=m时，方程组Ax=b 有解 A B C D 提交 单选题 1分

x+x=2有解？例1当取何值时，线性方程组135x, +4x, =32x,+4x2=元121121211=18-1-70-70-1解：增广矩阵5A300201-4元-1824元(2)(1)(1)35即向量b=线性表示。可由向量组α=4αz =(18)24其几何意义是b在α，α组成的平面上，也即三个向量共面

例1 当  取何值时，线性方程组 有解？            1 2  1 2 1 2 2 4 5 4 3 2 x x x x x x 解：增广矩阵           2 4  5 4 3 1 1 2               0 2 4 0 1 7 1 1 2                0 0 18 0 1 7 1 1 2   18 即向量 可由向量组 线性表示。            18 3 2 b                       4 4 1 , 2 5 1 1 2 其几何意义是 b 在 1 , 2 组成的平面上，也即三个向量共面