《线性代数》课程教学资源（讲稿B，高教版）第一章 矩阵及其初等变换 1-3 逆矩阵

1-3逆矩阵引入：对于任一实数α≠0，都存在倒数α-l，满足aα-!=α-a=1对于任一n阶方阵A及单位矩阵I，AI=IA=A，是否存在矩阵B，使得AB= BA=I ?例如2X11232110000001000001001=I000-3-30P

1-3 逆矩阵 引入：对于任一实数 a  0 ，都存在倒数 a 1 ， 满足 1 1 1     aa a a 对于任一 n 阶方阵 A 及单位矩阵 I ， AI  IA A ，是否存在矩阵 B ，使得 例如 AB  BA  I ?  I                                     2 3 1 2 2 1 3 2 2 1 3 2 2 3 1 2  I                                                      0 0 3 0 1 0 2 0 0 3 1 0 0 0 1 0 0 0 2 1 3 1 0 0 0 1 0 0 0 2 1 0 0 3 0 1 0 2 0 0

定义1设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使得AB=BA=I，则称A是可逆矩阵，简称矩阵A可逆，并称B是A的逆矩阵定理1设A是可逆矩阵，则其逆矩阵是唯一的反证法证明注（1）由定义可知，若B是A的逆矩阵，则A也是B的逆矩阵。（2）设矩阵A可逆，则存在唯一的逆矩阵，记为A-I，且AA"=A-"A=I（用到行列式知识证明（3）方阵A可逆一存在方阵B，使得AB=I（4）单位矩阵I可逆，且I-1=I

定义1 设 A为 n 阶方阵，若存在 n 阶方阵 B，使得 AB  BA  I ，则称 A 是可逆 矩阵，简称矩阵 A 可逆，并称 B 是 A 的逆矩阵。 1 A 注 定理1 设 A 是可逆矩阵，则其逆矩阵是唯一的。 （反证法证明） （1）由定义可知，若 B 是 A 的逆矩阵，则 A 也是 B 的逆矩阵。 （2）设矩阵 A 可逆，则存在唯一的逆矩阵，记为 ，且 AA  A A I 1 1 （3）方阵 A 可逆 存在方阵 B，使得 （用到行列式知识证明） I  I （ 1 4）单位矩阵 I 可逆，且 AB  I

ddd-1（5）对角矩阵△=d,≠0(i=1,2,.,n)可逆，且dA-ld.例1求矩阵 A的逆矩阵。例2设矩阵A满足A2-3A-10I=0，证明A，A-4I都可逆，并求它们的逆矩阵。例3设方阵B是幂等矩阵（B2=B），A=I+B，证明A可逆，且A-131-A

（5）对角矩阵 2 0( 1,2, , ) 可逆，且 1 d i n d d d i n                     1 1 2 1 1 1                     n d d d  例1 求矩阵   的逆矩阵。        2 3 1 2 A 例2 设矩阵 A 满足 A 2 3A10I  0 ， 证明 A, A 4I 都可逆，并求它们的逆矩阵。 例3 设方阵 B 是幂等矩阵（ B 2  B ）， A  I  B ，证明 A 可逆，且 (3 ) 2 1 1 A  I  A 

定理2设A，B均是n阶可逆矩阵，数≠0，则(1）A-I可逆,且(A-")-=A（2）A可逆，且（A)=A2（3）AB可逆，且(AB)-" = B-"A-I（4 ）AT 可逆,且（AT)-=(A-I)

定理2 设 A ，B 均是 n 阶可逆矩阵，数   0 ，则 （1 ） 可逆，且 A  A 1 1 ( ) 1 A （2 ） A 可逆，且 1 1 1 ( )   A  A   （3 ） AB 可逆，且 1 1 1 ( )    AB  B A （4 ） A T 可逆，且 T T (A ) (A ) 1 1 

容易验证初等矩阵的逆矩阵仍然是同类的初等矩阵E,-1EiE,(c)- = E,(一)1E,(c)-' = E,(-c)

1 1 1 ; 1 ( ) ( ); ( ) ( ) . ij ij i i ij ij E E E c E c E c E c        容易验证初等矩阵的逆矩阵仍然是同类的初等矩阵

定理3设A是n阶方阵，则以下各命题等价(1)A可逆；(2)齐次线性方程组AX=0只有零解；(3)A与单位矩阵I行等价；(4)A可以表示为有限个初等矩阵的乘积推论设A是n阶方阵，非齐次线性方程组AX=b有唯一解一→A可逆推论2m×n矩阵A=B的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩O.使得A=PBO

定理3 设 A 是 n 阶方阵，则以下各命题等价 （1 ） A 可逆； （2） 齐次线性方程组 AX  0 只有零解； （3） A 与单位矩阵 I 行等价； （4） A 可以表示为有限个初等矩阵的乘积。 推论 设 A 是 n 阶方阵， 非齐次线性方程组 AX  b 有唯一解 A 可逆 . 2 , m n A B m P n Q A PBQ    推 矩阵 的充分必要条件是存在 阶可逆矩阵 及 阶可逆矩阵 使得 论

若n阶矩阵A可逆，则A=EE，E，其中E,E，E都是初等矩阵于是E}'E".... E"'A = I,及E,"E-... E"I = A-表明，如果用一系列初等行变换把可逆矩阵A化成单位矩阵I，那么用同样的初等行变换作用于I，就可以将E化为A-1，由此可求逆矩阵E,'E-... E"'(A)=(E'E...E"AE'E..E"I=(1|A")

1 1 1 1 1 , E E E A I l l      1 1 1 1 1 1 , E E E I A l l     及   表明，如果用一系列初等行变换把可逆矩阵A化成单位矩阵 I ， 那么用同样的初等行变换作用于I，就可以将E化为A-1 ， 由此可求逆矩阵.   1 1 1 1 1 1 E E E A E E E I l l l l 1 1 1 1            1 I A    1 1 1 l l 1 1 E E E A I     1 2 1 2 . l l 若n A A E E E E E E 阶矩阵 可逆，则  ，其中 都是初等矩阵 于是

逆矩阵的求解----初等变换法行初等变换(A :1)( :A-')02-1211例4 求矩阵 A=的逆矩阵。(-1 -1-11021010200-11120001-111ir2100(A :I) =101)-1-110(-101-1-110-120oio(1110(11-1-2)r;+r200020111210-11r+r-2r+100011011:01:0

逆矩阵的求解-初等变换法 A I   1  I  A 行初等变换 例4 求矩阵 的逆矩阵。                1 1 1 1 1 2 0 2 1 A A I                0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 2 0 2 1                0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 2 1 1 1 2 1 2 r r             0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 2 1 1 1 2 1 3 r r                0 1 1 1 1 1 0 1 2 0 0 1 0 2 0 1 1 0 2 3 1 3 2 r r r r

5132220-201-110011111111-100-r +r1001222:222220001001-1 10135)1222111A-222101

              0 1 1 2 1 2 1 2 1 0 1 2 0 0 1 0 1 0 1 1 0 2 1 2 r                      0 1 1 2 1 2 1 2 1 2 5 2 3 2 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 2 1 r r                      0 1 1 2 1 2 1 2 1 2 5 2 3 2 1 1 A

11-2012例5讨论矩阵 A=是否可逆。4(0-1)00-211100-2111I041-2-2r+r0002101(A : I)=1040010401-1:000)-21111040-2-r+r(00012-1故A不可逆

例5 讨论矩阵 是否可逆。              0 4 1 2 0 1 1 2 1 A                0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 4 1 2 0 1 1 2 1 A I                 0 0 1 2 1 0 1 0 0 0 4 1 0 4 1 1 2 1 2 1 2 r r                 2 1 1 2 1 0 1 0 0 0 0 0 0 4 1 1 2 1 2 3 r r 故 A 不可逆