《线性代数》课程教学资源（讲稿B，高教版）第二章 行列式 2-4 克拉默法则

2-4克拉默法则34引入 讨论行列式 D=2102-11用对角线展开法可得D=8第一行元素1、3、4的代数余子式分别为计算A+a2A2+ai3A及aAi+a2A2+aA

2-4 克拉默法则 引入 讨论行列式 1 1 2 0 2 1 1 3 4  D  第一行元素 1、3、4 的代数余子式分别为 2, 1 1 0 2 1, 1 2 0 1 3, 1 2 2 1        用对角线展开法可得 D 8 计算 a1 1A1 1  a1 2A1 2  a1 3A1 3 及 a2 1A1 1  a2 2A1 2  a2 3A1 3

引理1行列式的一行元素与另一行对应元素的代数余子式乘积之和为零，即1aiA,+ai2Aj2+...+ainAm=aikAk=0(i+ j;i,j=1,2,..,n)k=laialainain证明ainainaildinD==0D, =..ajlaaildin1n对应元素有相同代数余子式anaannannn

引理1 0 ( ; , 1,2, , ) 1 a 1 A 1 a 2 A 2 a A a A i j i j n n k i j  i j  in jn  ik jk      行列式的一行元素与另一行对应元素的代数余子式乘积之和为零，即 证明 1 1 1 1 1 1 n n n j jn i in n a a a a a a a a D               0 1 1 1 1 1 1 1   n n n i in i in n a a a a a a a a D              对应元素有相 同代数余子式

综合得，对于代数余子式有如下重要结论nZCauAj=Do,ZaxAu=Do,或k=1k=11.i=j其中6(i, j=1,2,,n)t-[0,ij

1 n ik jk ij k a A D    1 n ki kj ij k a A D    1, ( , 1,2, , ) 0, ij i j i j n i j         综合得，对于代数余子式有如下重要结论 或 其中

单选题1分设置四阶行列式的第3行的元素为-1.0.2.4，第4行对应的代数余子式为5.10,a4, 则a= ().-5.50-11提交

-5.5 0 -1 1 A B C D 提交 单选题 1分

231-5练习(1)432设D212794求(1)A + Alz + A13 + 2Al4;(2)A41 + A42 + A43 + A44(1)A11 + A12 + A3 +2A4 = 0(2)A41 + A42 + A43 + A4 = A41 + A42 + A43 + 2A44 - A[2 1 3=-3=-A4 =-4 2 3111

练习(1) 11 12 13 14 41 42 43 44 2 1 3 5 4 2 3 1 1 1 1 2 7 4 9 2 (1) 2 (2) D A A A A A A A A         设 ， 求 ， 11 12 13 14 (1) 2 0 A A A A     41 42 43 44 41 42 43 44 44 (2) 2 A A A A A A A A A         44 2 1 3 4 2 3 111     A  3

填空题设置1分040)/32222的第4行个元的代数余子式之和是【填空1]求A二000-72/53-2作答

求𝐴 = 3 0 4 0 2 2 2 2 0 −7 0 0 5 3 −2 2 的第4行个元的代数余子式之和是 [填空1] 作答 填空题 1分

定义（伴随矩阵）aiai2a22a21a2n设n阶方阵A=称下列矩阵A为A的伴随矩阵：(anlan2ann)AA,A.其中A,是a,的代数余子式。A12A22An2A2AlnAn110223-824例如矩阵A=的伴随矩阵是A=-77-7131.3-1-5

定义 （伴随矩阵） 设 n 阶方阵 , 称下列矩阵 为 的伴随矩阵：                n n n n n n a a a a a a a a a A        1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 * A A                n n n n n n A A A A A A A A A A        1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 * 例如矩阵 的伴随矩阵是             1 1 3 1 2 4 2 3 1 A                3 5 1 7 7 7 2 8 10 * A其中A a ij ij 是 的代数余子式

引理2是n阶方阵，则AA = A'A=|AI设A是0AA21Aaai2ainA12AnA22a22a2na21证明AAanlan2定理1设A可逆，则423112445例1 求矩阵 A=的逆矩阵7773A111102-82227-7-7351143-511414,14

引理2 AA  A A  AI * * 证明                              n n n n n n n n n n n n A A A A A A A A A a a a a a a a a a AA               1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 * A I A A A                 0 0 0 0 0 0        定理1 1 1 * A A A   例1 求矩阵 的逆矩阵。             1 1 3 1 2 4 2 3 1 A                   3 5 1 7 7 7 2 8 10 14 1 1 * 1 A A A                       14 1 14 5 14 3 2 1 2 1 2 1 7 5 7 4 7 1 设 𝐴是 n 阶方阵，则 设 𝐴可逆，则

单选题1分设置若A山?211241(121-3提交

A B C D 提交 单选题 1分

(111)121例2设矩阵A=,求(A)-1113￥12221AA"=AA=|AI 223-112225，求[(2A)-1-3A"例3设A是3阶方阵，且|A=解： (2A)-l3A=3AA- =A-.3= A(2 A)-1 -3A8A

例2 设矩阵 ，求            1 1 3 1 2 1 1 1 1 A * 1 ( )  A AA  A A  AI * * A A A 1 ( ) * 1                               2 3 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 3 1 2 1 1 1 1 2 1 例3 设 A 是3阶方阵，且 ，求 3 1 A  1 * (2A) 3A  解： 1 1 ， 2 1 (2 )   A  A * 1 1 3 3   A  A A  A 1 * 1 1 1 2 1 2 1 (2 ) 3     A  A  A  A   A 8 1 3 8 1 2 1 1 3               A A