《线性代数》课程教学资源（讲稿B，高教版）第四章 特征值与特征向量 4-3 n维向量空间的正交性

4-3n维向量空间的正交性复习：向量空间的概念思考：在3维向量空间R3中，可以通过向量的数量积运算计算向量的长度及向量间的夹角等度量，在n维向量空间Rn中如何讨论呢？为此引入内积的运算

4-3 n 维向量空间的正交性 思考： 在3维向量空间 R3 中，可以通过向量的数量积运算计算向量的长度及向量 间的夹角等度量，在 n 维向量空间 R n 中如何讨论呢？ 复习：向量空间的概念 为此引入内积的运算

一、内积定义1设α=(a,az,a），β=(b,b,,,b,）是n维向量空间R"中的两个向量，称实数ab+ab,+….+a,b,为α与β的内积，记为（α，β)(α, β)=a,b +a,b, +...+a,b, =αβl内积的运算性质设α,β,是n维向量空间R"中的向量，k为任意实数（1)非负性(α，α)≥0,当且仅当α=0时等号成立;（2） 对称性(α, β)=(β, α) (α+β, )=(α, )+(β, )(kα, β)=k(α, β)（3）线性性质

内积的运算性质 (, )  0, 设 是 n 维向量空间 中的向量，k 为任意实数, n , , R （1）非负性 当且仅当   0 时等号成立； （2）对称性 (, )  (, ) （3）线性性质 (  ,  )  (,  ) (,  ) (k, )  k(, ) 一、内积 定义1 设 是 n 维向量空间 中的两个向量， 称实数 为 与 的内积，记为 ( , , , ), ( , , , )   a1 a2  an   b1 b2  bn n R a1 b1  a2 b2  an bn   (,  ) T (, )  a1 b1  a2 b2  an bn 

定义2设α=(a,a2,an)R”，称α,)=a+α+…a为向量α的长度，记为 [αlll=a' +a? +...+a?向量长度的运算性质(1）非负性[α≥ 0, 当且仅当 α= 0 时 α= 0kα=, ke R（2) 齐次性α+β≤+B（3）三角不等式(α, β)≤a2 柯西-施瓦茨不等式

向量长度的运算性质   0, 设 ，称 为向量 的长度， 记为  （1）非负性 当且仅当   0 时 （2）齐次性 k  k  , k R （3）三角不等式 定义2 n   (a1 ,a2 ,  ,an )R  2 2 2 2 1 ( , )    a  a  an   0        柯西-施瓦茨不等式 2 2 2 (, )     2 2 2 2   a1  a  an

单位向量及向量的单位化当α=1时，称α为单位向量。若α±0，则α可以单位化(α,β) :为α与β的夹角，记为<α,β)当α0，β0时，称=arccos定义3l -/ll(α,β)α,β)=arccosal-/ ll在R3中，两向量α,β，(α,β)=0α1β

单位向量及向量的单位化 当  1 时，称  为单位向量。 若   0 ，则  可以单位化：   1 定义3 当   0，  0 时，称 为  与  的夹角，记为      ( , ) arccos   ,       ( , ) , arccos   在R3 中，两向量 , ， (,)  0   

二、 n 维向量的正交性定义4若两向量α与β内积为零，即（α,β)=0，则称α与β正交。零向量0与任一向量正交。定义5若非零向量组αj,α2,αm两两正交，则称之为正交向量组定理正交向量组是线性无关组。设α,αz,",αm是正交向量组，且kα+k,α+.+kmαm=0证明：用α,与上式两端作内积，则αi,kα,+kzαz++kmαm）=k,(α,α,)+k,(αr, α,)+..+k(αr, αm)=k,(α, α,)=0因α≠0，(α,α)±0，所以=0，同理k,=k==k=0所以，αi,α2,",αm线性无关

二、n 维向量的正交性 定义4 若两向量  与  内积为零，即 (,)  0 ，则称  与  正交。 零向量 0 与任一向量正交。 定义5 若非零向量组 1 ,2 ,  , m 两两正交，则称之为正交向量组。 定理 正交向量组是线性无关组。 证明： 设 1 ,2 ,  , m 是正交向量组，且 k1 1  k2 2  km  m  0 用 1 与上式两端作内积，则   0        ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 1 1 1 1 1 1 2 1 3 1 1 1 1 2 2             k k k k k k k m m m m   因 1  0， (1 ,1 )  0 ，所以 k1  0 ，同理 k2  k3  km  0 所以，1 ,2 ,  , m 线性无关

注线性无关的向量组未必是正交向量组。例如,向量组 α=(1,1,1),αz=(1,1,0),α;=(1,0,0)线性无关,但其中任何两个向量都不满足正交性。例1在R3中，α=(1,1,1),α=(1,1,-2），求向量α，使α,α2，α为正交向量组解：显然（αα）=0，设α=(,），则应有[(α1, α3)=X +X2 +x, =0((α2, αg)=X +X2 -2x, =0解得α=(1,-1,0），从而αi，α2，α为正交向量组

注 线性无关的向量组未必是正交向量组。 例如，向量组 线性无关， 但其中任何两个向量都不满足正交性。 (1,1,1), (1,1,0), (1,0,0) 1  2  3  例1 在R3 中， 1  (1,1,1), 2  (1,1,2) ，求向量 3 ，使 1 , 2 , 3 为正交向量组。 解：显然 (1 , 2 )  0 ，设 3  (x1 , x2 , x3 ) ，则应有            ( , ) 2 0 ( , ) 0 2 3 1 2 3 1 3 1 2 3 x x x x x x     解得 3  (1,1,0) ，从而 1 , 2 , 3 为正交向量组

例2在Rn中，设向量组αi，α2α,线性无关(rn，证明：β，β2,·…β.线性相关证：设α,(i=1,2,,r),β,（j=1,2,,s)均为列向量，则（α，β）=αβ,=0(0)αβ,a,(i=1,2,,r; j=1,2,,s0α,β,α2设矩阵A=弯:.(0α,β,α.即β,是齐次线性方程组AX=O的解向量，其基础解系含n-r个解向量，则向量组β，β,.…β、的秩<n-r<s向量组βi，β2,",β、线性相关

例2 在 Rn 中，设向量组 线性无关 ，且向量组 中每 一个向量都与 中每一个向量正交，且 ， (r  n)   r , , , 1 2    s , , , 1 2    r , , , 1 2  r  s  n   s , , , 证明： 1 2  线性相关。 证：设 i (i 1,2,  ,r),  j ( j 1,2,  ,s) 均为列向量，则 ( 1,2, , 1,2, , ) ( , ) 0 i r j s j T i j i       ；     设矩阵 ，则                T r T T A     2 1                               0 0 0 2 1   j T r j T j T A j        即  j 是齐次线性方程组 AX  0 的解向量，其基础解系含 n r 个解向量， 则向量组 1 , 2 ,  , s 的秩  nr  s   s , , , 向量组 1 2  线性相关

定义6设α,α2,,α，是n维向量空间Rn的正交向量组，且α=1(i=1,2,",s)则称αα2…,α为标准正交向量组。若s=n，称α,α2,…,α为Rn的标准正交基例如,向量组 }=(1,0,0),82=(0,1,0),8;=(0,0,1)及), α; =(0, αi =(1,0,0), α2 =(0,都是R3的标准正交基

定义6 设 1 ,2 ,  ,s 是 n 维向量空间 Rn 的正交向量组，且 1 (i 1,2, ,s) i    则称 1 ,2 ,  ,s 为标准正交向量组。若 s  n ，称 1 ,2 ,  ,n 为 Rn 的标准正交基。 例如，向量组  1  (1,0,0),  2  (0,1,0),  3  (0,0,1) 及 ) 2 1 , 2 1 ), (0, 2 1 , 2 1 (1,0,0), (0, 1  2  3   都是R3 的标准正交基

三、施密特正交化方法线性无关向量组不一定是正交向量组，但可以正交化先考虑由α1,α2,α,组成的线性无关组，寻找与之等价的正交向量组β,β2,β(α2, β)令β,=α，β,=α,+kβ，为使(β2,β)=0，得k=(βi,β)(α2,β)即β, = α2B(βi,β))(αg,β,)(α3,β,)令β,=α+k,β+,β2,为使(β,β)=0,(β,β)=0,得k,=(β2,β,)(βr,β)(αg,β,)(α,β,)B.β,=α3即 3(βi,β)(β2,β2)则β,βB2β，两两正交

三、施密特正交化方法 1 2 3 先考虑由  , , 组成的线性无关组 ，寻找与之等价的正交向量组 线性无关向量组不一定是正交向量组，但可以正交化。 1 2 3  , , 令 1 1，2 2  k1 ，为使 (2 ,1 )  0 ，得 ( , ) ( , ) 1 1 2 1     k   即 1 1 1 2 1 2 2 ( , ) ( , )         令 3 3  k1 1  k2 2 ，为使 (3 ,1 )  0, (3 ,2 )  0 ，得 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 2 2 3 2 2 1 1 3 1 1         k   ，k   即 2 2 2 3 2 1 1 1 3 1 3 3 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )               1 2 3 则  , , 两两正交

一般地，把线性无关向量组α,α2，α。化为与之等价的标准正交向量组的施密特正交化过程如下：β, = αi第一步，先正交化aB.β, =α2(β,β)(α3,β,)(α3,β,β, =α3B(β1,β,)(β2,β2)(αs,β)(αs,β2(αs,βs-1)β,=αsB(βi,β)(β2, β2)(βs-1,βs-L)第二步，再单位化(i=12,.",s)1β,则Y1,2…,，是一组与α,α2,…,α，等价的标准正交向量组

一般地，把线性无关向量组 1 ,2 ,  ,s 化为与之等价的标准正交向量组的 施密特正交化过程如下： 第一步，先正交化 1 1 1 2 1 2 2 ( , ) ( , )         1 1  2 2 2 3 2 1 1 1 3 1 3 3 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )               -1 -1 -1 s -1 2 2 2 s 2 1 1 1 s 1 s ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) s s s s s                     第二步，再单位化 , ( 1,2, , ) 1 i s i i i       则  1 , 2 ,  , s 是一组与 1 ,2 ,  ,s 等价的标准正交向量组