《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第七章课件_第三节 齐次方程

第七章 第三为 齐次方程 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

齐次方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三节 第七章

形物票 的方程叫做齐次方程 拥法令如-子 则y=x, dy du dx dx 代入原方程得 du u+x p(u) dx du dx 分离变量 p(u）-u 两边积分，得 du -fdx 积分后再用∑代替u,便得原方程的通解 X HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

形如 的方程叫做齐次方程 . 令 , x y u = 代入原方程得 ( ) d d u x u u + x =  x x u u u d ( ) d =  − 两边积分, 得   = − x x u u u d ( ) d  积分后再用 代替 u, 便得原方程的通解. 解法: 分离变量: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.解微分方程(y2-2xy)dx+x2dy=0 解方和变形为出兰（只 令u=少，则有 X u+xu'=2u-u2 du dx 分离变量 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例1. 解微分方程 解: 2 ( ) , d d 2 x y x y x y 方程变形为 = − , x y 令 u = 则有 2 u + x u  = 2u − u 分离变量 x x u u d u d 2 = − − ( ) x x u u u d d 1 1 1 − = − − 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束

即(au=-货 u-12u 积分得 Ci x(u-1)=C 代回原变量得通解 x(y-x)=Cy(C为任意常数) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

积分得 ln ln , 1 ln x C u u = − + − ( ) x x u u u d d 1 1 1 − = − − 即 代回原变量得通解 即 C u x u = ( −1) x ( y − x ) = C y (C 为任意常数) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.解微分方程y'='+tanY X 解：令u=y,则y'=u+x, 代入原方程得u+xu=u+tanu coSu dx 分离变量 du= sin u x 两边积分 sin u 得 In sinu =Inx+In C,sinu=Cx 故原方程的通解为simy=Cx(C为任意常数) HIGH EDUCATION PRESS 机动目 页下页返回结束

例2. 解微分方程 tan . x y x y y  = + 解: , x y 令u = 则 y  = u + x u  , 代入原方程得 u + x u  = u + tan u 分离变量 x x u u u d d sin cos = 两边积分   = x x u u u d d sin cos 得 l n sin u = l n x + l n C , 即 sin u = C x 故原方程的通解为 C x x y sin = ( C 为任意常数 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束