《数学分析》课程教学课件（PPT讲稿）实数

第一章 实数集与函数 前页 后页 返回

前页 后页 返回 第一章 实数集与函数

一、内容简介 主要讲述实数系的连续性、确界定义和确界存在定理。由于 本章是建立数学分析理论的基础，对于习惯于中学数学思维 方式的大学新生来讲，会感到很抽象，学习的难度相对会大 一些. 二、学习要求 。 (1)了解数系的演变； (2)正确理解上、下确界的概念； (3)掌握实数连续性描述：确界存在定理 三、学习的重点和难点 重点：确界存在定理，实数系的连续性的描述 难点：上、下确界的分析描述，实数系连续性的描述 前页 后页 返回》

前页 后页 返回 • 一、内容简介 • 主要讲述实数系的连续性、确界定义和确界存在定理。由于 本章是建立数学分析理论的基础，对于习惯于中学数学思维 方式的大学新生来讲，会感到很抽象，学习的难度相对会大 一些． • 二、学习要求 • （1）了解数系的演变； • （2）正确理解上、下确界的概念； • （3）掌握实数连续性描述：确界存在定理 • 三、学习的重点和难点 • 重点：确界存在定理，实数系的连续性的描述 • 难点：上、下确界的分析描述，实数系连续性的描述．

§1实数 数学分析研究的是实数集上定义 的函数，因此我们首先要幸握实数的 基本概念与性质. 前页 后页 返回

前页 后页 返回 §1 实数 数学分析研究的是实 数集上定义 的函数, 因此我们首先要掌握实数的 基本概念与性质. 返回

一、实数的十进制小数表示 二、实数的大小、 三、实数的四则运算 四、实数的阿基米德性 五、实数的稠密性 六、实数与数轴上的点一一对应 七、实数的绝对值与三角形不等式 前页 后页 返回

前页 后页 返回 五、实数的稠密性 六、实数与数轴上的点一一对应 七、实数的绝对值与三角形不等式 三、实数的四则运算 四、实数的阿基米德性 一、实数的十进制小数表示 二、实数的大小 返回

记号与术语 R:实数集 N:自然数集（包含0） R,:正实数集 N:正整数集 R:负实数集 ∀：任意 Q:有理数集 3:存在 Z:整数集 前页 后顶 返回

前页 后页 返回 记号与术语 R :实数集 N : ( 0) 自然数集 包含 Z :整数集 Q :有理数集  :存在 R : − 负实数集  :任意 R : + 正实数集 N : + 正整数集

一、实数的十进制小数表示 1.任何一个实数都可以用十进制小数表示， 若x∈R,则x=412.0n x∈R,则x=-412.0m 其中∈N,an∈{0,1,2，9}，n=1,2,. 2.有限小数x=a4142.k(其中ak≠0)，又可表示为 x=04142.k-1(0k-1)99 =.412ak-(ak-109. 前页 返回

前页 后页 返回 1. 任何一个实数都可以用十进制小数表示. 若 R , . ; + 0 1 2 n x x a a a a  = 则 R , . . 0 1 2 n x x a a a a  = − − 则 N, {0, 1, 2, , 9}, 1, 2, . 其中 a0  an   n =  2. 有限小数 x a0 a1a2 ak = . (  0), 其中ak 又可表示为 x = a0 .a1a2 ak−1 (ak − 1)99 . ( 1)9 . 0 1 2 1 =  −  a a a ak− ak 一、实数的十进制小数表示

若实数都用无限小数表示，则表达式是唯一的. 即：若X=oa120ny y=bobb2.bn., 则x=y台an=bn,n=0,1,2,. 用无限小数表示实数，称为正规表示 3.Q={x|x=m,其中m,n∈乙，n≠0}表示有理数集 x∈Q,x可用循环十进制小数表示， 如=0.i42857 前顶 后页 返回

前页 后页 返回 若实数都用无限小数表示，则表达式是唯一的. 即: 若 . , x = a0 a1a2 an  . , y = b0 b1b2 bn  x = y  a = b , n = 0, 1, 2,  . 则 n n 用无限小数表示实数，称为正规表示. 0.142857. 7 1 如 =   x Q, x 可用循环十进制小数表示， 3. Q { | , , Z, 0} m x x m n n n = =   其中 表示有理数集

4.无理数为无限不循环小数. 如：元=3.1415926.； x=0.1010010001. 前页 后页 返回

前页 后页 返回 4. 无理数为无限不循环小数. 如:π = 3.1415926 ; x = 0.1010010001

二、实数的大小 定义1x,y∈R,若 x=o412.0n.,y=b.bb2.bn. 是正规的十进制小数表示，规定 a>b→a,>b,或3n∈N,使 a.a1a2.an=b.b1b2bn,而an+1>bn+ x,y∈R,规定x>y→-x<-y. x∈R+,y∈R,规定y<0<x 前顶 返回

前页 后页 返回 二、实数的大小 a b a b n      0 0 + 或 N , 使 . . , . a0 a1a2 an = b0 b1b2 bn 而an+1  bn+1 定义1 +   x y, R , 若 是正规的十进制小数表示, 规定 x y, R , 规定 x  y  −x  − y.   − R , R , + x y    − 规定 y  0  x. 0 1 2 . n y b b b b = 0 1 2 . , n x a a a a =

实数的大小关系有以下性质： (1)x>y,x=y,xy,y>z,则x>z 即大小关系具有传递性 前页 后页 返回

前页 后页 返回 (1) , , . x y x y x y  =  实数的大小关系有以下性质: 三者必有其中之一成立，且只有其中之一成立. (2) , , . 若 则 x y y z x z    即大小关系具有传递性