华东师范大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿）第二章 随机变量及其分布 2.5 常用连续分布

第二章随机变量及其分布 第1页 2.5 常用连续分布 正态分布、均匀分布、指数分布、 加玛分布、贝塔分布。 6 April 2025 华东师范大学

第二章 随机变量及其分布 6 April 2025 华东师范大学 第1页 §2.5 常用连续分布 正态分布、均匀分布、指数分布、 伽玛分布、贝塔分布

概率伦与敖理线针」 1.正态分布（或高斯分布） 定义设连续型随机变量X的概率密度为 1-x-四2 p(x)= e2o2 -∞0)为常数，则称X服从参数为山，o 的正态分布或高斯分布，记为X~N(,o2). E(×) 7.5 5 5 10

定义 设连续型随机变量𝑋的概率密度为 𝑝(𝑥) = 1 2πσ e − (𝑥−μ) 2 2σ2 , −∞ 0) 为常数, 则称𝑋服从参数为 μ, σ 的正态分布或高斯分布, 记为 𝑋~𝑁(μ, σ 2 ). 1. 正态分布(或高斯分布)

概率密度函数的几何特征 f() X= ()曲线关于x=u对称； 1 (2)当x=μ时，p(x)取得最大值 V2πo (3)当x→±∞时，p(x)→0； (4)曲线在x=n±o处有拐点；

概率密度函数的几何特征 (1)曲线关于 x = μ 对称; (2) 当𝑥 = μ时, 𝑝(𝑥)取得最大值 1 2πσ ; (3) 当 𝑥 → ±∞ 时, 𝑝(𝑥) → 0; (4)曲线在 x = μ  σ 处有拐点;

(⑤)曲线以x轴为渐近线 fo) (6)当固定σ，改变 u的大小时， p(x)图形的形状不变，只是沿 着x轴作平移变换； K=H-X=H X=u+0 f(x) r2 42 =2

(𝟔) 当固定 𝝈, 改变 𝝁的大小时, p(𝒙) 图形的形状不变, 只是沿 着 𝒙 轴作平移变换; (5)曲线以 x 轴为渐近线;

(7)当固定山，改变o的大小时，p(x)图形的对称轴 不变，而形状在改变，σ越小，图形越高越瘦，σ越大， 图形越矮越胖 f() 4=O =1 万=10

(7) 当固定 μ, 改变 σ 的大小时, 𝑝(𝑥) 图形的对称轴 不变, 而形状在改变, σ 越小, 图形越高越瘦, σ越大, 图形越矮越胖

正态分布的分布函数 1 (t-)2 F(x)= 262 dt F(X) 0.8 =0五6 =Or=1 =2,=4 -4 2 2 4

正态分布的分布函数 t σ F x x σ t μ e d 2π 1 ( ) 2 2 2 ( ) − − − =

正态分布的应用与背景 正态分布是最常见最重要的一种分布，例如 测量误差，人的生理特征尺寸如身高、体重等； 正常情况下生产的产品尺寸：直径、长度、重量 高度等都近似服从正态分布

正态分布是最常见最重要的一种分布,例如 测量误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ; 正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量 高度等都近似服从正态分布. 正态分布的应用与背景

正态分布的概率计算 原函数不是 初等函数 (t-4)2 P{X≤x=F(x)= 22 =? 方法：转化为标准正态分布查表计算

正态分布的概率计算 t σ F x x σ t μ e d 2π 1 ( ) 2 2 2 ( ) − − − P{X  x}= = = ? 原函数不是 初等函数 方法:转化为标准正态分布查表计算

标准正态分布 当正态分布N(4,G2)中的4=0，o=1时，这样 的正态分布称为标准正态分布，记为N(0,1) 标准正态分布的概率密度表示为 12 p(x)= =e -00<X<0, √2 标准正态分布的分布函数表示为 o(刘=e5dh-0<x<m 02元

, (0, 1). ( , ) 0, 1 , 2 N N μ σ μ σ 的正态分布称为标准正态分布 记为 当正态分布 中的 = = 时 这样 标准正态分布的概率密度表示为 e , , 2π 1 ( ) 2 2 = −     − x x x  标准正态分布 标准正态分布的分布函数表示为 e d , . 2π 1 ( ) 2 2  =  −     − − x t x x t

标准正态分布的图形 0.4 0.3 0.2 0.1 2 4 D(x) 0.8 0.6 0. 0.2 一4 2

标准正态分布的图形