《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿）排列与排列数

排列与排列数

排列与排列数

什么是分类计数原理？ 什么是分步计数原理？ 应用这两个原理时应注意什么问题？

什么是分类计数原理？ 什么是分步计数原理？ 应用这两个原理时应注意什么问题？

排列 问题1从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加 一项活动，其中1名同学参加上午的活动另1名 同学参加下午的活动有多少种不同的选法？ 我们可以这样来分析这个问题：从甲、乙、丙 3名同学中选出2名，按照参加上午的活动在前， 参加下午的活动在后的顺序排列，求一共有多 少种不同排法

, ? , 1 , 1 1 3 2 同学参加下午的活动有多少种不同的选法 一项活动 其 中 名同学参加上午的活动另 名 问 题 从甲、乙、丙 名同学中选出 名参加 . , 3 2 , , : 少种不同排法 参加下午的活动在后的 顺 序排列 求一共有多 名同学中选出 名 按照参加上午的活动在前 我们可以这样来分析这个问题 从甲、乙、丙 排列

解决这一问题可分两个步骤：第1步，确定参加上 午活动的同学，从3人中任选1人，有3种方法第2步， 确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同 学确定后，参加下午活动的同学只能从余下的2人 中去选，于是有2种方法 根据分步乘法计数原理」 上午下午 相应的排法 乙 甲乙 在3名同学中选出2名，按 甲 丙 甲丙 照参加上午活动在前，参 乙甲 乙 甲 加下午活动在后的顺序 丙 乙丙 丙甲 排列的不同方法共有3× 甲 丙 乙 丙乙 2=6种，如图

, 2 . , 2 , , 3 1 , 3 ; 2 , : 1 , 中去选 于是有 种方法 学确定后 参加下午活动的同学只能从余下的 人 确定参加下午活动的同学 当参加上午活动的同 午活动的同学 从 人中任选 人 有 种方法 第 步 解决这一问题可分两个步骤 第 步 确定参加上 2 6 , . 3 , 3 2 , , 种 如图 排列的不同方法共有 加下午活动在后的顺序 照参加上午活动在前 参 在 名同学中选出 名 按 根据分步乘法计数原理 =  上午 下午 相应的排法 甲乙甲丙 乙 甲 丙 乙甲 丙 乙丙 甲 乙 丙甲丙乙 丙 甲 乙

把上面问题中被取的对象叫做元素， 于是问题可叙述为： 从3个不同元素a,b,c中任取2个，然后 按照一定的顺序排成—列，一共有多 少种不同的排列方法？ 所有不同的排列是 ab,ac,ba,bc,ca,cb,共有3x2=6种

: , 于是问题可叙述为 把上面问题中被取的对象叫做元素 ? , 3 a,b,c 2 , 少种不同的排列方法 按照一定的顺序排成一列 一共有多 从 个不同元素 中任取 个 然 后 ab, ac, ba, bc, ca, cb,共有3 2 6种. 所有不同的排列是  =

问题2从1,2,3,4这4个数字中每次取出3个排成 一个三位数，共可以得到多少个不同的三位数？ 显然，从4个数字中，每次取出3个，按"百"十"个"位 的顺序排成一列，就得到一个三位数因此有多少种 不同的排列方法就有多少个不同的三位数可以分 三个步骤来解决这个问题： 第1步，确定百位上的数字，在1,2,3,4这4个数字中任 取1个，有4种方法： 第2步，确定千位上的数字，当百位上的数字确定后， 十位上的数字只能从余下的3个数字中去取，有3 种方法

, ? 2 1,2,3,4 4 , 3 一个三位数 共可以得到多少个不同的三位数 问 题 从 这 个数字中每次取出 个排成 : . , . , 4 , 3 , " "" "" " 三个步骤来解决这个问题 不同的排列方法就有多少个不同的三位数可以分 的顺序排成一列 就得到一个三位数因此有多少种 显然 从 个数字中 每次取出 个 按 百 十 个 位 1 , 4 ; 1 , , 1,2,3,4 4 取 个 有 种方法 第 步 确定百位上的数字 在 这 个数字中任 ; 3 , 3 2 , , , 种方法 十位上的数字只能从余下 的 个数字中去取 有 第 步 确定十位上的数字 当百位上的数字确定后

第3步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数 字确定后，个位上的数字只能从余下的2个数字 中去取，有2种方法； 根据分步乘法计数原理，从1,2,3,4这4个不同的数 字中，每次取出3个数字，按"百"十"个"位的顺序 排成一列，共有4×3×2=24种不同的排法，因而 共可得到24个不同的三位数，如图 2 23 八 342423 341413 241412 231312

, 2 ; , 2 3 , , 中去取 有 种方法 字确定后 个位上的数字只能从余下的 个数字 第 步 确定个位上的数字 当百位、十位上的数 24 , . , 4 3 2 24 , , 3 , " "" "" " , 1,2,3,4 4 共可得到 个不同的三位数 如图 排成一列 共有 种不同的排法 因而 字中 每次取出 个数字 按 百 十 个 位的顺序 根据分步乘法计数原理 从 这 个不同的数   = 3 4 24 23 3 4 14 13 24 14 12 23 13 12 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3 1 2 3 4

2 同样，问题2可归结为： 2 3 4 1 3 4 N 八 /八 从4个不同的元素a,b,c,d 34 24 2 341413 中取出3个，然后按照一定 3 的顺序排成一列共有多少 1 4 3 种不同的排列方法？ 241412 231312 所有不同的排列有 由此可写出所有的三位数： abc,abd,acb,acd,adb,adc, 123,124,132,134,142,143, bac,bad,bca,bcd,bda,bdc, 213,214,231,234,241,243, cab,cad,cba,cbd,cda,cdb, 312,314,321,324,341,342, dab,dac,dba,dbc,dca,dcb 412,413,421,423,431,432, 共有4×3×2=24种

412,413,421,423,431,432, 312,314,321,324,341,342, 213,214,231,234,241,243, 123,124,132,134,142,143, 由此可写出所有的三位数 : 同 样,问 题2可归结为: ? , 3 , 4 a,b,c,d 种不同的排列方法 的顺序排成一列共有多少 中取出 个 然后按照一定 从 个不同的元素 4 3 2 24 . dab,dac,dba,dbc,dca,dcb. cab,cad,cba,cbd,cda,cdb, bac,bad,bca,bcd,bda,bdc, abc,abd,acb,acd,adb,adc, 共 有 种 所有不同的排列有   = 3 4 24 23 3 4 14 13 2 3 4 1 3 4 1 2 24 14 12 23 13 12 1 2 4 1 2 3 3 4

一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素， 按照一定顺序排成一叫做从个不同元素中取 出m个元素的一个排列(arrangement): 根据排列的定义，两个排列相同当且仅当两个排 列的元素完全相同且元素的排列顺序也相同例 如在问题2中，123与134的元素不完全相同，它们 是不同的排列123与132虽然元素完全相同但元 素的排列顺序不同它们也是不同的排列

m (arrangemen t). , n , n m( n) , 出 个元素的一个 按照一定顺序排成一列叫做从 个不同元素中取 一般地 从 个不同的元素中取出 m  个元素 排列 , . ;123 132 , 2 ,123 134 , , . , , 素的排列顺序不同它们也是不同的排列 是不同的排列 与 虽然元素完全相同但 元 如在问题 中 与 的元素不完全相同它 们 列的元素完全相同且元素的排列顺序也相同例 根据排列的定义两个排列相同当且仅当两个排

1、排列定义 一般地，从个不同元素中取出m (n) 个元素按照一定顺序排成一列，叫做从个不同 元素中取出t个元素的一个排列. 排列的定义中包含两个基本内容： 一是“取出元素”；二是“按照一定顺序排列”. “一定 顺序”就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问 题的重要标志. 根据排列的定义，两个排列相同，当且仅当这两个排 列的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同. 如果两个排列所含的元素不完全一样，那么就可以肯定 是不同的排列；如果两个排列所含的元素完全一样，但摆 的顺序不同，那么也是不同的排列：

排列的定义中包含两个基本内容： 一是“取出元素”；二是“按照一定顺序排列”．“一定 顺序”就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问 题的重要标志． 根据排列的定义，两个排列相同，当且仅当这两个排 列的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同． 1、排列定义 如果两个排列所含的元素不完全一样，那么就可以肯定 是不同的排列；如果两个排列所含的元素完全一样，但摆 的顺序不同，那么也是不同的排列． 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n） 个元素按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同 元素中取出m个元素的一个排列