华东师范大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿）第三章 第三章 多维随机变量及其分布（习题）

第三章 多维随机变量及其分布 习题课 一、重点与难点 二、主要内容 三、典型例题

一、重点与难点 二、主要内容 三、典型例题 第三章 多维随机变量及其分布 习 题 课

一、重点与难点 1.重点 二维随机变量的分布 有关概率的计算和随机变量的独立性 2.难点 条件概率分布 随机变量函数的分布

一、重点与难点 1.重点 二维随机变量的分布 有关概率的计算和随机变量的独立性 2.难点 条件概率分布 随机变量函数的分布

主要内容 随机变量 推广 的相互独立性 定义 联合分布律 随机变 联合 分 联合概率密度 布函 数 条 件分布 定 义 质 边 缘分布 两个随机变量的函数的分布

定 义 联 合 分 布 函 数 联 合 分 布 律 联 合 概 率 密 度 边 缘 分 布 条 件 分 布 两 个 随 机 变 量 的 函 数 的 分 布 随 机 变 量 的 相 互 独 立 性 定 义 性 质 二 维 随 机 变 量 推 广 二、主要内容

二维随机变量 设E是一个随机试验，它的样本空间是S={}, 设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的随机变量， 由它们构成的一个向量(X,),叫作二维随机向量 或二维随机变量 xX(e) S +。Y(e)

. ( , ), ( ) ( ) , , { }, 或二维随机变量 由它们构成的一个向量 叫作二维随机向量 设 和 是定义在 上的随机变量 设 是一个随机试验 它的样本空间是 X Y X X e Y Y e S E S e = = = 二维随机变量 • e •Y(e) S • X(e)

二维随机变量的分布函数 (1)定义 设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数x, y,二元函数： F(x,y)=P{(X≤x)∩(Y≤y)}=P{X≤x,Y≤y} 称为二维随机变量(X,Y)的分布函数，或称为随 机变量X和Y的联合分布函数

(1) 定义 . ( , ) , ( , ) {( ) ( )} { , } , : ( , ) , , 机变量 和 的联合分布函数 称为二维随机变量 的分布函数 或称为随 二元函数 设 是二维随机变量 对于任意实数 X Y X Y F x y P X x Y y P X x Y y y X Y x =    =   二维随机变量的分布函数

(2)性质 1°F(x,y)是变量x和y的不减函数，即对于任 意固定的y,当x2>x1时F(x2y)≥F(x1,y); 对于任意固定的x,当y2>y时F(x,y2)≥F(x,y1): 2°0≤F(x,y)≤1，且有 对于任意固定的y,F(-oo,y)=limF(x,y)=0; X→- 对于任意固定的x,F(x,-oo)=imF(x,y)=0; F(-00,-0o)=lim F(x,y)=0; y→-∞

, ( , ) ( , ); 1 ( , ) , 2 1 2 1 0 y x x F x y F x y F x y x y 意固定的 当  时  是变量 和 的不减函数 即对于任 , ( , ) ( , ). 2 1 2 1 对于任意固定的x 当y  y 时F x y  F x y 2 0 ( , ) 1, 0  F x y  对于任意固定的 y, (−, ) = lim ( , ) = 0; →−  F y F x y x 且有 对于任意固定的x, ( ,−) = lim ( , ) = 0; →−  F x F x y y (−,−) = lim ( , ) = 0; →−  →−  F F x y y x (2) 性质

F(+oo,+00)=lim F(x,y)=1. K)+0 y→+∞ 3°F(,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x,y+0), 即F(,y)关于x右连续，关于y也右连续， 4对于任意(1，y1),(x2,y2),x1<x2,y<y2, 有F(x2,y2)-F(x2y1)+F(x1,y1)-F(x1,y2)≥0

(+,+) = lim ( , ) = 1. →+  →+  F F x y y x ( , ) , . 3 ( , ) ( 0, ), ( , ) ( , 0), 0 即 F x y 关于 x 右连续 关于 y 也右连续 F x y = F x + y F x y = F x y + 4 ( , ),( , ), , , 1 1 2 2 1 2 1 2 0 对于任意 x y x y x  x y  y ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0. 有 F x2 y2 − F x2 y1 + F x1 y1 − F x1 y2 

(3)n维随机变量的概念 设E是一个随机试验，它的样本空间是S={, 设X1=X1(e),X2=X2(e),Xn=Xn(e),是定义 在S上的随机变量，由它们构成的一个n维向量 (X,X2,Xn)叫做n维随机向量或n维随机变量. 对于任意n个实数x1,x2,xn,n元函数 F(K1,X2,.,Xn)=P{X1≤X1,X2≤X2,.,Xn≤Xn} 称为随机变量(X1,X2,Xm)的联合分布函数

( , , , ) . , ( ), ( ), , ( ), , { }, 1 2 1 1 2 2 叫做 维随机向量或 维随机变量 在 上的随机变量 由它们构成的一个 维向量 设 是定义 设 是一个随机试验 它的样本空间是 X X X n n S n X X e X X e X X e E S e n n n  = =  = = 对于任意 n 个实数x1 , x2 ,  , xn ,n 元函数 ( , , , ) { , , , } 1 2 n 1 1 2 2 n n F x x  x = P X  x X  x  X  x ( , , , ) . 称为随机变量 X1 X2  Xn 的联合分布函数 (3) n 维随机变量的概念

二维离散型随机变量的分布律 设二维离散型随机变量(X,Y)所有可能取的 值为(x1,y),i,j=1,2,.,记 P{X=X,Y=yj}=p,i,ji=1,2,., 称此为二维离散型随机变量(X,Y)的分布律，或 随机变量X和Y的联合分布律. 二维随机变量(X,Y)的分布律也可表示为：

. ( , ) , { , } , , 1,2, , ( , ), , 1,2, , ( , ) 随机变量 和 的联合分布律 称此为二维离散型随机变量 的分布律 或 值为 记 设二维离散型随机变量 所有可能取的 X Y X Y P X x Y y p i j x y i j X Y i j ij i j   = = = = = 二维随机变量 ( X,Y ) 的分布律也可表示为: 二维离散型随机变量的分布律

X Xj X2 xi Y1 P11 P21 。 Pa y2 P12 P22 Pi2 二 yj 离散型随机变量(XY)的分布函数为 F(x,y)=∑∑P, x;≤xy;≤ 其中和式是对一切满足x,≤x,y,≤y的i,求和

( , )   ,   = x x y y ij i j F x y p 离散型随机变量 ( X,Y ) 的分布函数为 其中和式是对一切满足x x, y y的i, j求和. i  j  X Y x1 x2  xi    j y y y 2 1 p11 p21  pi1  p12 p22  pi 2     p1 j p2 j  pij    