华东师范大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿）第二章 随机变量及其分布 2.3 随机变量的方差与标准差

第二章随机变量及其分布 第1页 §2.3随机变量的方差与标准差 >数学期望反映了X取值的中心 >方差反映了X取值的离散程度 6 April 2025 华东师范大学

第二章 随机变量及其分布 6 April 2025 华东师范大学 第1页 §2.3 随机变量的方差与标准差 ➢ 数学期望反映了X 取值的中心. ➢ 方差反映了X 取值的离散程度

第二章随机变量及其分布 第2页 2.3.1方差与标准差的定议 定义231若EX-E()P存在，则称 E(X-E()P为X的方差，记为 Var(X)=D(X)=E(X-E(X) 6 April 2025 华东师范大学

第二章 随机变量及其分布 6 April 2025 华东师范大学 第2页 2.3.1 方差与标准差的定义 定义2.3.1 若 E(X−E(X))2 存在，则称 E(X−E(X))2 为 X 的方差，记为 Var(X)=D(X)= E(X−E(X))2

第二章随机变量及其分布 第3页 注意点 (1)方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度 方差越大，则随机变量的取值越分散， (2)称ox=o(X)-√Var(X)为X的标准差 标准差的量纲与随机变量的量纲相同 6 April 2025 华东师范大学

第二章 随机变量及其分布 6 April 2025 华东师范大学 第3页 (2) 称 注 意 点 X =  (X)= Var( ) X (1) 方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度. 方差越大, 则随机变量的取值越分散. 为X 的标准差. 标准差的量纲与随机变量的量纲相同

第二章随机变量及其分布 第4页 Var(X)=E(X-E(X))2 ∑(x-B(X)(x),在离散场合， ∫(x-E(X)n(x)dx,在连续场合. 6 April 2025 华东师范大学

第二章 随机变量及其分布 6 April 2025 华东师范大学 第4页

第二章随机变量及其分布 第5页 2.32方差的性质 (1)Var(c=0. 性质232 (2)Var(ax+b)=a2 Var(X). 性质233 (3)Var(片E(X2)-[E(X]2. 性质231 6 April 2025 华东师范大学

第二章 随机变量及其分布 6 April 2025 华东师范大学 第5页 2.3.2 方差的性质 (1) Var(c)=0. 性质 2.3.2 (2) Var(aX+b) = a 2 Var(X). 性质 2.3.3 (3) Var(X)=E(X2 )−[E(X)]2 . 性质 2.3.1

第二章随机变量及其分布 第6页 例23.1 0≤x<1 设X~p(x)=2-x1kx<2，求E),Var) 其它 解()Epxi=xxdx+x2-xd +e-= ②09=rpxd=rd+2-xd =716 所以， Var(X)=EX)-[EX2]=7/6-1=1/6 6 April 2025 华东师范大学

第二章 随机变量及其分布 6 April 2025 华东师范大学 第6页 例2.3.1 设 X ~ 0 1 ( ) 2 1 2 0 x x p x x x        = −   其 它 , 求 E(X), Var(X). 解: (1) E(X)= 3 2 3 1 1 1 2 ( ) 3 3 0 1 = + − x x x = 1 (2) E(X2 ) = = 7/6 所以, Var(X) = E(X2 )−[E(X) 2 ] = 7/6 − 1 = 1/6 xp x x ( )d + − 1 2 0 1 =  + − x x x x x x d (2 )d   2 x p x x ( )d + − 1 2 3 2 0 1 = + − x x x x x d (2 )d  

第二章随机变量及其分布 第7页 课堂练习 1+x,-1≤x≤0 设X~px)=1-x, 0<x≤1 则方差Var(X)=()。 0,其他 问题：Var()=1/6,为什么？ 6 April 2025 华东师范大学

第二章 随机变量及其分布 6 April 2025 华东师范大学 第7页 课堂练习 设 1 , 1 0 ~ ( ) 1 , 0 1 0 , x x X p x x x  + −    = −      其 他 则方差 Var(X)=( )。 问题：Var(X) = 1/6, 为什么？

第二章随机变量及其分布 第8页 随机变量的标准化 设Var0>0,令Y=X-Ey Var(X) 则有E(=0,Var(=l. 称Y为X的标准化 6 April 2025 华东师范大学

第二章 随机变量及其分布 6 April 2025 华东师范大学 第8页 随机变量的标准化 设 Var(X)>0, 令 则有 E(Y)=0, Var(Y)=1. ( ) Var( ) X E X X Y − = 称 Y 为 X 的标准化

第二章随机变量及其分布 第9页 233 切比雪夫不等式 设随机变量的方差存在（这时均值也存在）， 则对任意正数ε，有下面不等式成立 PIX-E(X)28}≤ Var(X) PIX-E()ke≥1-Var(x 6 April 2025 华东师范大学

第二章 随机变量及其分布 6 April 2025 华东师范大学 第9页 2.3.3 切比雪夫不等式 设随机变量X的方差存在(这时均值也存在), 则 对任意正数ε，有下面不等式成立 Var( ) {| ( ) | } 2 X P X E X   −   2 Var( ) {| ( ) | } 1 X P X E X   −   −

第二章随机变量及其分布 第10页 随机变量X的期望是3，方差是4，求p(0<X<6) 的范围？ ≤5/9 6 April 2025 华东师范大学

第二章 随机变量及其分布 6 April 2025 华东师范大学 第10页 随机变量X的期望是3，方差是4，求p(0<X<6) 的范围？ ≤ 5/9