《数学分析》课程教学课件（讲稿）数列极限存在的条件

§3数列极限存在的条件 学过数列极限概念后，自然会产生两个 问题：一是怎么知道一个数列是收敛的？ 即极限的存在性问题，二是如何计算数列的 极限？其中，判断数列是否收敛，这在极限 理论中占有非常重要的地位. 下面就极限存在性问题，介绍两个重要定理 一、单调有界定理 二、柯西收敛准则 前页 巡回

前页 后页 返回 学过数列极限概念后，自然会产生两个 §3 数列极限存在的条件 一、单调有界定理 下面就极限存在性问题, 介绍两个重要定理. 二、柯西收敛准则 理论中占有非常重要的地位. 极限? 其中, 判断数列是否收敛, 这在极限 即极限的存在性问题; 二是如何计算数列的 问题：一是怎么知道一个数列是收敛的? 返回

一、单调有界定理 定理2.7单调有界数列必有极限， 证该命题的几何意义是十分明显的. 不妨设{an}单调增，有上界.由确界定理，存 spa,}=x雷上确界的定义，对于任意的e>0, 存在a,使an>x-e.故当n>,(仁N)时， a(n>no) x-e xte 前门

前页 后页 返回 一、单调有界定理 定理 2.7 单调有界数列必有极限. 证 该命题的几何意义是十分明显的. 单调增，有上界. 由确界定理，存 在由上确界的定义，对于任意的 存在 使 ( )

x-e≤amn￡a,￡x0.因a,=√2+V2,故4>a1;设 a,>an-1,则有 01-0n=2+an-√2+an- an an-1 —>0, √2+an+V2+an-l

前页 后页 返回 例1 设 求 解 这就证明了

所以{an}递增.下面再来证明此数列有上界. 显然，41=V20,所 以 lim a=2. nR￥

前页 后页 返回 由此得到 有上界 2 , 由极限的不等式性, 知道 , 所 以 下面再来证明此数列有上界. 于是由 可得

例2下面的叙述错在哪儿？ 设am=2",n=1,2,L,则 4n1-2"=2an 因为显然有an>0,所以{an}递增.设lima,=A, n®Y 从而得出 A=24 D A=0, 即lim2"=0." n®￥ 以前知道圆周率π是一个重要的无理数，现在来 介绍另一个重要的无理数e. 前工

前页 后页 返回 例2 下面的叙述错在哪儿？ 因为显然有 从而得出

考察数列，}：小的收敛性下面的证法 n 是最基本的，而教材上的证法技巧性较强 利用二项式展开，得 e.=1+n+:0Lm-1L1 n2!n2 n! " 1+11 1！2! +1+-12Lu.n-, (1) 2 前过

前页 后页 返回 是最基本的, 而教材上的证法技巧性较强

由此得 en1=1+ a. n十 十 (D 把e,和en1的展开式作比较就可发现，en的展开 式有n+1项，其中的每一项都比en的展开式中 的前n+1项小，而en的最后一项大于零.因此 前页

前页 后页 返回 由此得

en≤em1,n=1,2,L. 从而{e,}是单调增数列，且 e,1-+l+ (2) 1！2！3! n！ 由此 e,￡1+1+1+1 +儿+ 222 这就证明了{e,n}又是有界数列.于是imen存在 n®￥ 记此极限为e,即 e=im(l+马. n®￥

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*例3设1+11+1 1！2！3 ,+儿+ nn=-1,2,L, 证明： lim s=e. n®Y 证显然{s}是单调增数列，且由例2中的(2)式， e,E1+11+L+1 1！2！3!n! =Sn<1+1+ 11 1 222儿 2-T下3， 因此lims,存在且由极限的保不等式性， n® e=lime,￡lim s, n®￥ n®￥

前页 后页 返回 *例3 证 证明:

又对任意n>m, e1+11 1!2! n +L >1 、1 .3 1! 2!n 3! L11-3L.m-马， m! 因此，在上式中两边令n®￥，得

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