《高等数学》课程教学资源（PPT课件）Ⅱ_第八章第二节 数量积 向量积

第二节 第七章 数量积向量积*混合积 两向量的数量积 二、 两向量的向量积 *三、 向量的混合积

*三、向量的混合积 第二节 一、两向量的数量积 二、两向量的向量积 机动 目录 上页 下页 返回 结束 数量积 向量积 *混合积 第七章

一、两向量的数量积 引例.设一物体在常力F作用下，沿与力夹角为0 的直线移动，位移为。，则力F所做的功为 W=Fs cose 1.定义 设向量a,b的夹角为0，称 M 记作 a.B W=F.5 为a与的数量积（点积） 下页返回结束

M1 一、两向量的数量积 沿与力夹角为 的直线移动,  W = 1. 定义 设向量 的夹角为 ,称 记作 数量积 (点积) . 引例. 设一物体在常力 F 作用下, 位移为 s , 则力F 所做的功为 F s cos  W F s  =  M2 a b 为a与b的 a , b s 机动 目录 上页 下页 返回 结束

当a≠0时，b在a上的投影为 |6cos0记昨Pr万 故 a.b=aPrja万 同理，当b≠0时， a.b=bPrjga 2.性质 a≠0，b≠0 (1)aa=az 则ab=0 (2)a,为两个非零向量，则有 1 ab-0-aLb

 b 在a上的投影为   记作 故 同理,当 0 时,   b  2. 性质 为两个非零向量, 则有 ba  b Prj a b = a ba  Prj (1) a  a = (2) a ,b a b = 0 ⊥ 则 a b = 0 a  0, b  0 机动 目录 上页 下页 返回 结束

3.运算律 ()交换律a.b=bd (2) 结合律(2,4为实数) (2b=a(b=(a.b) (a+b) (2a)(ub)=(a.(ub) =24(ab) Prje a Prjc b (3)分配律(a+b)c=ac+b. Prjc(a+B) 事实上，当c=0时，显然成立；当c≠0时 (@+b)@=|Prjc(a+B)=||(Prjea+PrjcB) Prjza+Prjcb =a.c+b.c 上页下页返回结球

3. 运算律 (1) 交换律 (2) 结合律 a ( b) ( a )( b ) =  ( a ( b) ) =   (a b) (3) 分配律 事实上, 当 c = 0 时, 显然成立 ; 当c  0时 c (a + b) b a bc  a Prj c  Prj ( a + b ) c ( a b ) c = c Prj + = c ( a b ) c c   Prj + Prj ac  = c Prj bc  + c Prj = a  c + b  c Prj (a b) c  + 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.证明三角形余弦定理 c2 a2+b2-2abcos0 证：如图.设 CB-a,CA=b,AB=c 则 c-a-b B a c-(反-@-b)=a.a+b-b-2a-6 a+32-2 abcoso a=a,b=b,c=7 c2 a2 b2-2abcos0

A B C  a b c 例1. 证明三角形余弦定理 2 cos 2 2 2 c = a + b − ab 证: 则 2 cos 2 2 2 c = a + b − ab 如图 . 设 CB = a, C A = b, AB = c = 2 c ( a − b )( a − b )= a  a + b b − 2 a b 2 = a 2 + b − 2 a b cos a = a , b = b , c = c 机动 目录 上页 下页 返回 结束

练习：P23题8用向量证明直径所对圆周角是直角 练习：P23题2 机动目录上页下页返回结抹

机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习：P23 题 8 用向量证明直径所对圆周角是直角. 练习：P23题2

4.数量积的坐标表示 设a=ai+a,j+a.k,b=b,i+b,j+bk,则 a.B=(axi+ay j+az k)-(bxi+by J+b-K) ii=jj=k=1,7=了k=k7=0 a.b=axbx ayby +a-b= 两向量的夹角公式 当a,b为非零向量时，由于a.b=acos0,得 a.b axbx ayby a-b- c0S0= b+ b2+ 8

4. 数量积的坐标表示 设 则 = 0 x x y y z z = a b + a b + a b 当 为非零向量时, cos = = x x y y z z a b + a b + a b 2 2 2 x y z a + a + a 2 2 2 x y z b + b + b 由于 a b cos a a i a j a k , = x + y + z b b i b j b k , = x + y + z ( a i + a j + a k ) x y z (b i b j b k ) x + y + z i  j = j  k = k i a b a b 两向量的夹角公式 , 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束

aLb→ab+ab,+ab=0 例3 已知a=(1,1,-4),b=(1,-2,2),求（1) a.B: (2)a与b的夹角；(3)在b上的投 影. 解 (①)a.b=11+1.(-2)+(-4)2=-9. axbs +a,bya,b. 2)c0s0= a2+a,2+a:Vb2+b,2+b1 2 ③4-5-51@x@- a.b =-3 目录上页下页返回结辣

例 3 已知a = (1,1,−4)  ，b = (1,−2,2)  ，求（1） a b    ；（2）a 与 b 的夹角；（3） a 在 b  上的投 影. 解 a b   (1)  = 11 + 1(−2) + (−4) 2 = −9. 2 2 2 2 2 2 (2) cos x y z x y z x x y y z z a a a b b b a b a b a b + + + + + +  = , 2 1 = − b a b b a      (3)  =| | ( ) 3. | | ( ) = −   = b a b a b      机动 目录 上页 下页 返回 结束 a ⊥ b  ax bx + ay by + az bz = 0  

例4.已知三点M(1,1,1),A(2,2,1),B(2,1,2),求 ∠AMB. 解：MA=(1,1,0),MB=(1,0,1) 则 CoS∠AMB= MA·MB MAMB 1+0+0 22 故 ∠AMB= 8 结

MA = ( ), MB = ( ) = B M 例4. 已知三点 M (1,1,1), A( 2, 2,1), B( 2,1 , 2),  AMB . A 解: 1, 1, 0 1, 0, 1 则 cosAMB = 1+ 0 +0 2 2 AMB= 求 MA MB MA MB 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束

那，已知向a,5的夹角9-且@迈，11=3 求a-b. 解：a-b2=(a-b)(a-b) =a-a-2a-b+b.b =la2-2aBc050+B2 3π =v22-223cos年+3 =17 .a-b=17 上页下页返回结束

2 2 3 4 3 = ( 2) − 2 2 3 cos +  =17 例5. 已知向量 的夹角 且 解： , 4 3 a , b  = | a | = 2, | b | = 3, ( a − b )( a − b ) = a  a + b b 2 2 = a − 2 a  b cos + b  a − b = 17 机动 目录 上页 下页 返回 结束