《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第九章_D9_7方向导数与梯度

第七节 第九章 方向导款局梯袁 一、方向导数 二、梯度 三、物理意义 HIGH EDUCATION PRESS 机动

第七节 第九章 一、方向导数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、梯度 三、物理意义 方向导数与梯度

一、方向导数 定义：若函数f(x,y,2)在点P(x,y,z)处 沿方向1（方向角为口，口，口存在下列极限 lim of P(x,y,2） 0口0 Olim f(x口·x,yOy,z口z)口f(x,y,z)记作□/ 口口0 0 00(ǖx)2☐（☐y2(@z)2 □x□□cos口，Oy口0cos0,☐z▣□cosC 则称 1 为函数在点P处沿方向1的方向导数 HIGH EDUCATION PRESS 机动 返回 结球

一、方向导数 定义: 若函数 则称 为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数. 在点 处 沿方向 l (方向角为 ) 存在下列极限: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 记作

定理：若函数f(x,y,z)在点P(x,y,2)处可微 则函数在该点沿任意方向1的方向导数存在，且有 cos▣▣ cos cos■ 国x y 其中口，☐，☐为1的方向角 证明：由函数f(x,y,z)在点P可微，得 P(x,y,2）〉 cos口[口o(▣) 故 lim cos cos▣ cos ▣▣0 HIGH EDUCATION PRESS 机动 回结束

定理: 则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 , 证明: 由函数 且有 在点 P 可微 , 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故

对于二元函数f(x,y),在点P(x,y)处沿方向1（方向角 为口，口)的方向导数为 口1im/xOx,yy)Dfx,） ▣▣0 □fx(x,y)cosD□fv(x,y)cos□ (口口V(x)2口(C)2,x00cosD,口y0 Dcos) 特别： ·当1与x轴同向0，之时，有 ·当/与x轴反向口，口 时，有 2 HIGH EDUCATION PRESS 机动 反回 结束

机动 目录 上页 下页 返回 结束 对于二元函数 为￾ , ￾ ) 的方向导数为 特别: • 当 l 与 x 轴同向 • 当 l 与 x 轴反向 向角

例1.求函数1☐x2yz在点P(1,1,1)沿向量1口(2，☐， 3)的方向导数 解：向量1的方向余弦为 2 3 cos口 cos 14 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录

例1. 求函数 在点 P(1, 1, 1) 沿向量 3) 的方向导数 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 向量 l 的方向余弦为

例3.设是曲面2x23y2口z2☐6在点P(1,1,1)处 指向外侧的法向量，求函数4D6r☐8) 在点P处沿 方向n的方向导数， 解：nL(4x,6y,2z)p☐2(2,3,1) 方向余弦为cos口□ 2 3 14 14 cos 14 6x 6 而 zV6x2☐8v2 14 8 同理得 0014 W14 11 6☐280314☐1[0 n P 14 HIGH EDUCATION PRESS 机动 返回 结束

例3. 设 是曲面 在点 P(1, 1, 1 )处 指向外侧的法向量, 解: 方向余弦为 而 同理得 方向 的方向导数. 求函数 在点P 处沿 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、梯度 方向导数公式 cos 70口(cos0,co0s0,cosd LGoGi() 当0与G方向一致时，方向导数取最大值： max 这说明 G 方向：f变化率最大的方向 模：f的最大变化率之值 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录 返回结束

二、梯度 方向导数公式 令向量 这说明 方向：f 变化率最大的方向 模 : f 的最大变化率之值 方向导数取最大值： 机动 目录 上页 下页 返回 结束

1.定义 向量G称为函数f(P)在点P处的梯度(gradient) 记作grad f,即 agg 同样可定义二元函数f(x,y)在点P(x,y)处的梯度 gn/n5g影 说明：函数的方向导数为梯度在该方向上的投影 2.梯度的几何意义 HIGH EDUCATION PRESS 回

1. 定义 即 同样可定义二元函数 称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度 记作 (gradient), 在点 处的梯度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影. 向量 2. 梯度的几何意义

对函数z口f(x,y),曲线 》在oy西上的授 z口C 影L:f(x,y)口C称为函数f的等值线 设∫x,f不同时为零，则L上点P处的法向量为 (fx,fy)p□gradfp 同样，对应函数u口f(x,y,z) 有等值面（等量面）f(x,y,z)口C 当各偏导数不同时为零时，其上 点P处的法向量为grad fp, (设g1☐c2□c) 函数在一点的梯度垂直于该点等值面（或等值线）， 指向函数增大的方向. 季HIGH EDUCATION PRESS 机动 返回结束

函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线) , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 称为函数 f 的等值线 . 则L *上点P 处的法向量为 同样, 对应函数 有等值面(等量面) 当各偏导数不同时为零时, 其上 点P处的法向量为 指向函数增大的方向

3.梯度的基本运算公式 (1)gradC☐0 (2)grad(Cu)☐Cgrad u (3)grad(uv)口grad u grad v (4)grad(uv)☐r grad v☐grad u (5)grad f(u)f)grad u HIGH EDUCATION PRESS 机动 返回 结

3. 梯度的基本运算公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束