《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第十二章_D12_1常数项级数

第十二章 无穷级数 数项级数 无穷级数 幂级数 付氏级数 表示函数 无穷级数是研究函数的工具 研究性质 数值计算

无穷级数 无穷级数 无穷级数是研究函数的工具 表示函数 研究性质 数值计算 数项级数 幂级数 付氏级数 第十二章

第一节 第十二章 常数项级数的橇念和性质 一、 常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件 *四、柯西审敛原理 HIGH EDUCATION PRESS 上页下页返回结束

常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件 *四、柯西审敛原理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一节 第十二章

一、常数项级数的概念 引例1.用圆内接正多边形面积逼近圆面积 依次作圆内接正3×2”(n=0,1,2,.)边形，设a表示 内接正三角形面积a,表示边数 增加时增加的面积，则圆内接正 3×2”边形面积为 a0+a1+a2+.+an n→o时，这个和逼近于圆的面积A 即 A=a0+a41+a2+.+an+. HIGH EDUCATION PRESS D0C8 机动目录上页下页返回结束

一、常数项级数的概念 引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积. 依次作圆内接正 边形, 这个和逼近于圆的面积 A . + 设 a0 表示 即 内接正三角形面积, ak 表示边数 增加时增加的面积, 则圆内接正 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定义：给定一个数列4山1,42,4，.，4n,.将各项依 次相加，简记为 ∑4n,即 n=1 00 ∑4n=h1+4+43+.+4n+. n=1 称上式为无穷级数其中第n项un叫做级数的一般项 级数的前n项和 Sn= k=41+2+3+.+n k= 称为级数的部分和.若1imSn=S存在，则称无穷级数 n→0 收敛，并称S为级数的和，记作 》HIGH EDUCATION PRESS 机动目 下页返回结束

定义：给定一个数列 u1 , u2 , u3 ,  , un ,  将各项依 , 1   n= un 即 称上式为无穷级数，其中第 n 项 un 叫做级数的一般项, 级数的前 n 项和 称为级数的部分和. 次相加, 简记为 收敛 , 则称无穷级数 并称 S 为级数的和, 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束

0 S ∑4n n=1 若lim S不存在，则称无穷级数发散 n→o 当级数收敛时，称差值 In S-Sn untl +unt2 + 为级数的余项 显然 lim =0 n→0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

当级数收敛时, 称差值 为级数的余项. 则称无穷级数发散 . 显然 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.讨论等比级数（又称几何级数） 0 ∑ag”=a+ag+ag2+.+ag”+.(a≠0) n=0 (q称为公比)的敛散性 解：1)若9≠1，则部分和 Sn=a+ag+ag2+.+agm-1=aag" 1-q 当go∞ 因此级数收敛，其和为 当|g>1时，由于1img”=oo,从而lim S=o∞， n-→0 n->oo 因此级数发散 考HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例1. 讨论等比级数(又称几何级数) ( q 称为公比 ) 的敛散性. 解: 1) 若 q a a q n − − = 1 从而 q a n n S − → = 1 lim 因此级数收敛 , ; 1 q a − 从而 lim =  , → n n S 则部分和 因此级数发散 . 其和为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2).若9=1，则 当q=1时，Sn=na→oo,因此级数发散； 当q=-1时，级数成为 a-a+a-a+.+(-1)m-a+ a, n为奇数 因此 0 n为偶数 从而lim S不存在，因此级数发散 n->oo 综合1)、2)可知，q<1时，等比级数收敛； q≥1时，等比级数发散 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

2). 若 因此级数发散 ; 因此    Sn = n 为奇数 n 为偶数 从而 综合 1)、2)可知, q 1 时, 等比级数收敛 ; q 1 时, 等比级数发散 . 则 级数成为 a, 0, 不存在 , 因此级数发散. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.判别下列级数的敛散性 00 n+1 00 (2) n=1 Lmnio 解：(1) S,-in2 tin =d2D0皮-lg)++Inn+- =ln(n+1)>∞(n→∞》 技巧： 所以级数(1)发散： 利用“拆项相消”求和 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例2. 判别下列级数的敛散性: 解: (1) 1 2 = ln n S = (ln 2 − ln1) + (ln3 − ln 2) ++ (ln(n +1) − ln n) = ln(n +1) →  ( n → ） 所以级数 (1) 发散 ; 技巧: 利用 “拆项相消” 求和 2 3 + ln 3 4 + ln n n 1 ln + ++ 机动 目录 上页 下页 返回 结束

(2) Sn= 十 122.33.4 n:(n+1) -+ 1- >1 (n->o) n+1 所以级数(2)收敛，其和为1 技巧： 利用 "拆项相消”求和 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

(2) ( 1) 1 3 4 1 2 3 1 1 2 1  + + +  +  +  = n n Sn        = − 2 1 1 1 1 1 + = − n →1 ( n → ） 所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .       + − 3 1 2 1       + − 4 1 3 1       + + + − 1 1 1 n n  技巧: 利用 “拆项相消” 求和 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、无穷级数的基本性质 性质1.若级数∑”n收敛于S,即S=∑4n,则各项 n=1 n=1 乘以常数c所得级数 ∑cun也收敛，其和为cS n= 证：令Sn=立4，则o。-∑c4=cS k=1 k- lim on =c lim Sn=cS n-→oo n→00 这说明∑c4n收敛，其和为cS. n=1 说明：级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

二、无穷级数的基本性质 性质1. 若级数 收敛于 S , , 1   = = n n S u 则各项 乘以常数 c 所得级数 也收敛 , 证: 令 , 1  = = n k n k S u 则  = = n k n k cu 1  , n = c S n n  →  lim = c S 这说明   n=1 n cu 收敛 , 其和为 c S . 说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 . 即 其和为 c S . 机动 目录 上页 下页 返回 结束