《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第十二章_D12_7傅立叶级数

第七节 第十二章 传里叶级款 一、三角级数及三角函数系的正交性 二、函数展开成傅里叶级数 三、正弦级数和余弦级数 HIGH EDUCATION PRESS 机动 返回 结束

第七节 一、三角级数及三角函数系的正交性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、函数展开成傅里叶级数 三、正弦级数和余弦级数 第十二章 傅里叶级数

一、三角级数及三角函数系的正交性 简单的周期运动：y口Asin(口t☐口)（谐波函数） (A为振幅，口为角频率p为初相) 复杂的周期运动：y口A0口☐An sin(n0t口·n》 n☐ (谐波迭加 4nsin马n cos n□I口4ncos□n sin nt 令 ☐Ao,an☐An sinn,bm☐An cos 口t0x 得函数项级数 ,o□(a ob,sinx） 2 kI 称上述形式的级数为三角级数 HIGH EDUCATION PRESS 回结束

一、三角级数及三角函数系的正交性 简单的周期运动 : (谐波函数) ( A为振幅, 复杂的周期运动 : 令 得函数项级数 ￾ 为角频率,φ为初相 ) (谐波迭加) 称上述形式的级数为三角级数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理1.组成三角级数的函数系 1,cos x,sinx,cos 2x,sin 2x,cosnx,sinnx, 在[工，口]上正交，即其中任意两个不同的函数之积在 [卫，]上的积分等于0 证： 1 cosnxdx▣1[sinnxdx口0(nD1,2,D〉 cos kx cos nx dx coskxcosnxE,dos(k☐n)eos(k☐m)x cos(k☐n)x□cos(k☐n)xdx口0(k☐n) 同理可证： sin kx sin n.xdx☐0(k☐n） cos kx sin nx dx☐0 HIGH EDUCATION PRESS 动 返回

定理 1. 组成三角级数的函数系 证: 同理可证 : 正交 , 上的积分等于 0 . 即其中任意两个不同的函数之积在 机动 目录 上页 下页 返回 结束

但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在[工，口] 上的积分不等于0.且有 1ddx☐2▣ cos-nxdx (n☐1,2,0） sin2 nxdx U 1☐cos2nx 1☐cos2nx cos-nx☐ sin2 nx 2 2 HIGH EDUCATION PRESS

上的积分不等于 0 . 且有 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、函数展开成傅里叶级数 定理2.设f(x)是周期为2口的周期函数 f(x)(sinn) 且 ① 2 右端级数可逐项积分，则有 ()cosndx (n) ② f()sinnxdx (n12.) 证：由定理条件，对①在[工，☐]逐项积分，得 (x)dx 4o dx▣ an [cosnx dx Ob [sinnx dx n☐ ■ HIGH EDUCATION PRESS 机动 回

二、函数展开成傅里叶级数 定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2￾ 的周期函数 , 且 右端级数可逐项积分, 则有 证: 由定理条件, ① ② 对①在 逐项积分, 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束

a哈 f(x)dx ()cos kxdx cos kx dx coskxcosdxcoskxsinmx dx n☐ ☐ak☐cos2kxdx口akd (利用正交性》 4:号f))coskxdx(k1,2,) 类似地，用sinkx乘①式两边，再逐项积分可得 b后fx)sin kx dx(k1,2,) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页 下页返回结束

(利用正交性) 类似地, 用 sin k x 乘 ① 式两边, 再逐项积分可得 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2 n (n☐0,1，▣) ② f(x)sinnxdx (n☐1,2，☐) 由公式②确定的an,b,称为函数 f(x)的傅里叶系数；以f(x)的傅里 叶系数为系数的三角级数①称为 f(x)的傅里叶级数 傅里叶，J.B.J HIGH EDUCATION PRESS 傅里叶目录 上员 下页返回结束

叶系数为系数的三角级数 ① 称为 的傅里叶系数 ; 由公式 ② 确定的 ① ② 以 的傅里 的傅里叶级数 . 称为函数 傅里叶 目录 上页 下页 返回 结束

定理3（收敛定理，展开定理） 设f(x)是周期为2口的 周期函数，并满足狄利克雷(Dirichlet)条件 1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点 2)在一个周期内只有有限个极值点， 则f(x)的傅里叶级数收敛，且有 注意：函数展成 傅里叶级数的条 ao ☐an cosnx☐n sinnx 件比展成幂级数 2 n☐ 的条件低得多 f(x), x为连续点 x为间断点 2 其中an,bn为f(x)的傅里叶系数.（证明略） HIGH EDUCATION PRESS 简介目录上页

定理3 (收敛定理, 展开定理) 设 f (x) 是周期为2￾ 的 周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件: 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点 ; 2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有 x 为间断点 其中 为 ( 证明略 ) f (x) 的傅里叶系数 . x 为连续点 注意: 函数展成 傅里叶级数的条 件比展成幂级数 的条件低得多. 简介 目录 上页 下页 返回 结束

例1.设fx)是周期为2口的周期函数，它村□，口） 上的表达式为 ☐x☐0 f(x) 将f(x)展成傅里叶级数 解：先求傅里叶系数 1cosnxdx ▣0 (n☐0,1,2，▣) HIGH EDUCATION PRESS 返回

例1. 设 f (x) 是周期为 2￾ 的周期函数 , 它在 上的表达式为 解: 先求傅里叶系数 将 f (x) 展成傅里叶级数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

b.片)sinnd 2心()sin'p1 ind 0 cos nx 2Icosn0 n n 当n☐1,3,5，☐ 0, 当n☐2,4,6，☐ sin(2k☐1)x☐☐I 2k□1 (0口x0□，x口0，□0，口20,0) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录页

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