《高等数学》课程教学资源（PPT课件）Ⅱ_D11_2对坐标的曲线积分

第十章第二节对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分的概念与性质对坐标的曲线积分的计算法两类曲线积分之间的联系三、机动目录上页下页返回结束

第二节 一、对坐标的曲线积分的概念 与性质 二、 对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对坐标的曲线积分 第十章

对坐标的曲线积分的概念与性质1.引例：变力沿曲线所作的功LB设一质点受如下变力作用F(x, y) = (P(x, y), Q(x,y)在xoy平面内从点A沿光滑曲线弧L移动到点B,求移动过程中变力所作的功W解决办法恒力沿直线所作的功“大化小"F“常代变"W =FABcos0“近似和"0=F.AB·B“取极限”AOU-F下页返回结束

一、 对坐标的曲线积分的概念与性质 1. 引例: 变力沿曲线所作的功. 设一质点受如下变力作用 在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B, A B L x y 求移 W = F AB cos “大化小” “常代变” “近似和” “取极限” 恒力沿直线所作的功 解决办法: 动过程中变力所作的功W. = F  AB A B F  F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

“分割、近似1)“大化小"（分割)求和、取极限'把L分成n个小弧段,F沿Mk-1MkF(Ek,nk)所做的功为△Wk，则BAykW-ZAWkAxkk=1(近似)2)“常代变x有向小弧段Mk-M,用有向线段Mk-1M=（Axk，Ayk）近似代替，在Mk-1Mk上任取一点(,nk),则有AWk~ F(Ek, nk). Mk-IMk= P(Sk, nk)Axk +Q(Sk, Nk)AykeDO目返回结束机动-质

Mk−1 Mk A B x y 1) “大化小”. 2) “常代变” L 把L分成 n 个小弧段, 有向小弧段 近似代替, 则有 k k k k = P( , )x + Q( , )y  k   k  所做的功为 F 沿 Wk F k M k 1M k ( , ) −      k ( , ) F k k   = =  n k W Wk 1 则 用有向线段 在 上任取一点 k  y k x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 “分割、近似、 ( 分割.) 求和、取极限” ( 近似.)

3）“近似和"(求和.)W ~E[P(k, nk)Axk +Q(ck, nk)Ayk ]k=14）“取极限W = limZ [P(Ek, nk)4xk +Q(Ek, Nk)4yk]->0k=1F(Ek,nk)(其中为n个小弧段的LB最大长度)AykAxkAX000-E

3) “近似和” 4) “取极限”  =  n k W 1   k k k k k k P( , )x + Q(ξ , )y  = → = n k W 1 0 lim    k k k k k k P(ξ , η )Δx + Q(ξ , η )Δy Mk−1 Mk A B x y L ( , ) F k k  k  y k x (其中 为 n 个小弧段的 最大长度) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (求和.)

2.定义.设L为xoy平面内从A到B的一条有向光滑弧，在L上定义了一个向量函数F(x,y) =(P(x,y), Q(x,y)若对L的任意分割和在局部弧段上任意取点，极限nZ [P(Ek, nk)Axk+Q(Ek, nk)Ayk]lim1->0k=1记作[ P(x, y)dx+Q(x, y)dy= [,F.d r都存在,则称此极限为函数F(x,y）在有向曲线弧L上或第二类曲线积分.其中,P(x,J)，对坐标的曲线积分，Q(x,y）称为被积函数，L称为积分弧段或积分曲线0000X目录动上市下页返回结束

2. 定义. 设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑 弧, 若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点, 都存在, 在有向曲线弧 L 上 对坐标的曲线积分,   → → + = L L P(x, y)dx Q(x, y)d y F .d r  k k k P( , )x  k k k  + Q( , )y = n k 1 0 lim → 则称此极限为函数 或第二类曲线积分. 其中, 称为被积函数 , L 称为积分弧段 或 积分曲线 . 在L 上定义了一个向量函数 极限 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束

YP(x, y)dx = lim ZP(Ek, nk)Axk 元→0 k=1称为对x的曲线积分[, Q(x, y)dy= lim Zo(Ek, nk)Ayk2→0k=称为对的曲线积分若记dr=(dx，dy)对坐标的曲线积分也可写作(, F.dr = (, P(x, y)dx+O(x, y)dy类似地，若r为空间曲线弧，记ds=(dx,dy,dz)F(x, y,z)= (P(x, y,2), Q(x, y,2), R(x,y,2)LF.ds=|(_ P(x, y, z)dx +Q(x, y,z)dy + R(x, y,z)dz0000

L P(x, y)dx lim ( , ) , 1 0  → = =  n k k k k P   x  L Q(x, y)dy lim ( , ) , 1 0  → = =  n k k k k Q   y  若 为空间曲线弧 , 记 称为对 x 的曲线积分; 称为对 y 的曲线积分. 若记 , 对坐标的曲线积分也可写作 F(x, y,z) = (P(x, y,z), Q(x, y,z), R(x, y,z)) 类似地, d s = (d x , dy , dz) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 d (d , d ) r x y =  = + d ( , )d ( , )d   L L F r P x y x Q x y y

3.性质(1) LL[ αF(x, J)+βF,(x, y)|dr(α,β为常数)=α[, F(x, y)dr + β[, F,(x,y)dr(2) /, F(x,y)dr =, F(x,y)dr + /, F(x,y)dr(L= L, + L2)(3) J_ F(x,J)dr=-I, F(x, J)drL-表示L的反向弧说明：·对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向定积分是第二类曲线积分的特例

1 2 (1) ( , ) ( , ) d L     F x y F x y r +    (α,β 为常数) 1 2 ( , )d ( , )d L L = +   F x y r F x y r   3. 性质 1 2 (2) ( , )d ( , )d ( , )d L L L F x y r F x y r F x y r = +    1 2 ( ) L L L = + (3) ( , )d ( , )d L L F x y r F x y r − = −   ( L－ 表示 L 的反向弧 ) • 定积分是第二类曲线积分的特例. 说明: • 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 !

二.对坐标的曲线积分的计算法定理：设 P(x,J),Q(x,J)在有向光滑弧L上有定义且x=@(t)t:α→β,则曲线积分连续，L的参数方程为y=y(t)存在,且有( P(x, y)dx +Q(x, y)dy= (P[0(t) (0)]0'()+Q[(),V(0)]y(1)dt证明：下面先证f, P(x, y)dx = [" P[p(t), y(t)p'(t)dtO00

二、对坐标的曲线积分的计算法 定理: 在有向光滑弧 L 上有定义且 L 的参数方程为    = = ( ) ( ) y t x t   t : →  , 则曲线积分   =   P[ (t), (t)](t)+ Q[ (t), (t)](t)d t 连续, 证明: 下面先证 P[ (t), (t)] dt  =     (t) 存在, 且有 机动 目录 上页 下页 返回 结束

n根据定义[, P(x,y)dx=lim ZP(si, ni)△x2-0设分点x,对应参数ti，点(i,ni)对应参数ti,由于x; = x - Xi-1= β(t)- (ti-1) = @'(t))△ti( P(x, y)dx= lim ZP[β(t,), y(t,)lp'(t)Ati2-0因为L为光滑弧，所以@(t)连续= lim ZP[p(t), y(t,)]p'(t,)ti2-0=1P[p(t), y(t)]p'(t)dt[,o(x, y)dy= [" o[g(t), y(t)] y'(t) d t同理可证0O00目录返回结束-质

设分点 对应参数 根据定义 i x , i t , i  由于  i = i − i−1 x x x ( ) ( ) = i − i−1  t  t i i = ( )t P[ (t), (t)] dt  =      → = = n i P i i 1 0 lim [ ( ), ( )]  i i ( )t  → = = n i P i i 1 0 lim [ ( ), ( )]  i i ( )t (t)  → = =  n i i i i P x 1 0 lim ( , )  对应参数 因为L 为光滑弧 , 同理可证 Q[ (t), (t)] d t  =     (t) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

特别是,如果 L的方程为y=(x),x:α→b,则P(x, y)dx +Q(x, y)dy['(P[x, y(x)]+Q[x, y(x)] y'(x))dx( x=Φ(t)=(t)t:α→β,类似有对空间光滑曲线弧I：人z=0(t)_ P(x, y,z)dx +Q(x, y,z)dy + R(x, y, z)d zAF[P (P[p(t), y(t), w (t)]p'(t)+Q[(t), y(t), @(t)]y'(t)+ R[p(t), y(t), o(t)]o'(t)fd te000

特别是, 如果 L 的方程为 y = (x), x : a → b, 则 P x x Q x x  x b a [ , ( )] [ , ( )] d  =  +  (x) 对空间光滑曲线弧 : 类似有   =   (t) (t) (t) P[ (t), (t), (t)] : , ( ) ( ) ( )      → = = = t z t y t x t 定理 目录 上页 下页 返回 结束