《高等数学》课程教学资源（PPT课件）Ⅱ_D11_6高斯公式

第十章第六节高斯公式通量与散度推广Green 公式Gauss 公式高斯公式一沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件三、通量与散度机动自录上页下页返回结束

第六节 Green 公式 Gauss 公式 推广 一、高斯公式 *二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 三、通量与散度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 高斯公式 通量与散度 第十章

公式一、高斯（Gauss）定理1.1设空间闭区域Q由分片光滑的闭曲面Z所围成,Z的方向取外侧，函数 P,Q,R在Q上有连续的一阶偏导数，则有、_Pdydz+Qdzdx+RdxdyapaRadxdydz(Gauss公式）OxJOazay下面先证ORJ.RdxdydxdydzAaz0-下页返回结乐

一、高斯 ( Gauss ) 公式 定理1. 设空间闭区域  由分片光滑的闭曲  上有连续的一阶偏导数 ,  P d y d z + Q d z d x + Rdx d y x y z z R d d d     = Rd x d y 下面先证: 面 所围成,  的方向取外侧, 函数 P, Q, R 在 则有 (Gauss 公式) 高斯 目录 上页 下页 返回 结束

证明: 设Q2:z(x,y)≤z(x,y)≤z2(x,y), (x,J) Dxy为XY型区域,Z=Z,U2 UZ3,Z1 :z= z1(x,y),Z2 : z = z2(x, y),则Z2aRdxdydz= J, dxdy [2(c,)aRoa2dzZ3zi(x,y) Ozxy2Z(R(x, y, z2(x,y))x1VR(x, y, zi(x,y)) fd xd yRdxdy =(Jz,+ JJz,+ J,)Rd xdy福R(x, y, z2(x, y)dxdy - [f, R(x, y, zi(x, y)d xdyxyX0OOO定理1自录返回结束上页下页

2 3 1  z y x Dxy  R(x, y, ) − R(x, y, ) d x d y : ( , ), 1 1  z = z x y 证明: 设 ,  = 1  2  3 z z z x y R z x y d ( , ) ( , ) 2 1     = Dx y ( , ) 2 z x y ( , ) 1 z x y  Rd x d y  = Dx y (  = 2 x y z z R d d d    d x d y  + 1  + 3 )Rd x d y 为XY型区域 , : ( , ), 2 2  z = z x y 则 R(x, y, )dxdy  − Dx y  = Dx y ( , ) 2 z x y R(x, y, ( , )) d xdy 1 z x y 定理1 目录 上页 下页 返回 结束

aRJ1o01Rdxdy所以dxdydz=若Q不是XY-型区域，则可引进辅助面将其分割成若干个XY-型区域，在辅助面正反两侧面积分正负抵消，故上式仍成立apO6.1Pdydzdxdydz=类似可证axJI.dxdydz =ff, Qd zd x中oy三式相加，即得所证Gauss 公式：apaoaRI.OdxdydzaxOzdyPdydz+Qdzdx+ Rdxdy0000X开-

所以 x y z z R d d d     = Rd x d y 若  不是 XY–型区域 , 则可引进辅助面 将其分割成若干个 XY–型区域, 正反两侧面积分正负抵消, 故上式仍成立 . 在辅助面 类似可证 x y z y Q d d d     = Pd y d z + Qd z d x + Rd xdy ( ) x y z z R y Q x P d d d   +   +     = Qd z d x x y z x P d d d     = Pd y d z 三式相加, 即得所证 Gauss 公式： 定理1 目录 上页 下页 返回 结束

例1.用Gauss 公式计算 _(x-y)dxdy+(y-z)xdydz其中Z 为柱面x2+2=1及平面z=0,z=3所围空间闭域Q的整个边界曲面的外侧解: 这里 P=(y-z)x,Q=0, R=x-利用Gauss 公式,得原式=JJJ。(y-z)dxd ydz (用柱坐标)1(l(psin-z)pdpddz = f" def"pd pf(psino-2) dz9元2思考：若Z改为内侧，结果有何变化？若Z为圆柱侧面(取外侧，如何计算？

例1. 用Gauss 公式计算 其中 为柱面 闭域  的整个边界曲面的外侧. 解: 这里 利用Gauss 公式, 得 原式 =  ( y − z)d x d y d z  = −  ( sin z)  d d d z (用柱坐标) d d ( sin z) dz 3 0 1 0 2 0   =      −  2 9 = − x 3 o z 1 y P = ( y − z)x, Q = 0, R = x − y 及平面 z = 0 , z = 3 所围空间 思考: 若  改为内侧, 结果有何变化? 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若  为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算?

例2.利用Gauss公式计算积分I = [l(x? cosα+ y? cos β+ z? cos )dSZth其中为锥面×2+2=z2介于z=0及Zz= h 之间部分的下侧J解：作辅助面Z1: z=h, (x, )e Dxy : x2 + y2 ≤h2, 取上侧在上α=β=,=0记Z,Z,所围区域为2，则I =(+- JJ,(x2 cosα+ y2 cos β+2? cos)ds=2JJ。(x+y+2)dxdydz-JJ, h?dxdyC0000g

例2. 利用Gauss 公式计算积分 其中  为锥面 2 2 2 x + y = z  h o z y 解: 作辅助面 x : , 1  z = h ( , ) : , 2 2 2 x y D x y h  xy +  取上侧  +  = 1 I (  − 1 )(x cos y cos z cos ) d S 2 2 2  +  +  , 0 2 1  =  =  = 在 上  介于 z = 0 及 z = h 之间部分的下侧. 1 记 , 1 h 所围区域为, 则  = 2 (x + y + z)d x d y d z h x y Dx y d d 2  − 机动 目录 上页 下页 返回 结束

I = 2[(x+ y+z)d xdydz - JJh?dxdyx1ZJJ,xdv=0利用对称性：ChJJ,ydv=0Zy_ zdxd ydz -π h4Sh2z.πzdz -h401练习：P231例3（改用nh42高斯公式计算）o

 I = 2 (x + y + z)d xdydz  = 2 z d x d ydz 4 − h h x y Dx y d d 2  − 4 2 1 = −  h  = h z 0 2 2  z dz 4 − h 机动 目录 上页 下页 返回 结束 d 0 d 0 x v y v   = =   利用对称性： 练习：P231例3（改用 高斯公式计算）  h o z y x

练习。设为曲面z=2-×2_2,1≤z≤2 取上侧,求-yI = [l,(x3z+x)d ydz-x2yzdzdx-x22? dxd y.Zt解：作取下侧的辅助面Z1 : z=1(x,y)e Dxy :x? +y2<?I=-用极坐标用柱坐标Z+Z1Z1(-x)dxd yJJJ。 d xd ydz -(-1) JJ2" cos?dodpdodz-元4eoo

练习. ( )d d d d d d . 3 2 2 2  I = x z + x y z − x y z z x − x z x y 设 为曲面 2 , 1 2 2 2 z = − x − y  z  取上侧, 求 解: 作取下侧的辅助面 : 1 1 z = ( , ) : 1 2 2 x y  Dx y x + y  I =   +  − 1 1  = d x d ydz ( x )d x d y 2 − Dxy − (−1)  =   2 0 d  1 0  d   −    2 0 2 cos d 4  = 1 z o x y 2 1  用柱坐标 用极坐标 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例：设为yoz平面上的曲线z=1-y2(0≤z≤1)绕z轴旋转一周而成，且取上侧，计算，I=(/2x3dydz+2y3dzdx+2dxdy)(答案：3元）CHAU一机动目录上页下页返回结束

2 d d 2 d d 2 d d . 3 3  I = x y z + y z x + x y 例：设 为yoz平面上的曲线 z = 1− y 2 (0  z  1)绕z轴 (答案：3） 1 z o x y 1 0  机动 目录 上页 下页 返回 结束 旋转一周而成，且取上侧，计算：

例3.计算曲面积分f-dydz+dzdx+1=0dxdi, Z:×2+2 +22=R2 取外侧其中, r= x2+y2 +z2,解：I=f, xdy dz + ydzdx + z dxdyR31T3dxdydz=4元RJQ思考：本题Z改为椭球面=1时，应如何622oa计算？元2提示：在椭球面内作辅助小球面x22取+y+z8内侧，然后用高斯公式.（=4元）

例3. 计算曲面积分 其中, , 2 2 2 r = x + y + z : .  x 2 + y 2 + z 2 = R 2 取外侧 解: x y z R 3d d d 1 3  = 思考: 本题  改为椭球面 1 2 2 2 2 2 2 + + = c z b y a x 时, 应如何 计算 ? 提示: 在椭球面内作辅助小球面 x 2 + y 2 + z 2 =  2 取 内侧, 然后用高斯公式 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束