《高等数学》课程教学资源（PPT课件）Ⅱ_D12_1常数项级数

第十二章无穷级数数项级数幂级数无穷级数付氏级数表示函数研究性质无穷级数是研究函数的工具数值计算

无穷级数 无穷级数 无穷级数是研究函数的工具 表示函数 研究性质 数值计算 数项级数 幂级数 付氏级数 第十二章

第十一章第一节常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念二、 无穷级数的基本性质三、级数收敛的必要条件*四、柯西审敛原理

常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件 *四、柯西审敛原理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一节 第十一章

一、常数项级数的概念定义：给定一个数列 ui,u2,u3，,un，…将各项依次相加,简记为un，即8n=1un=u +u? + u +.. +un +..n=1称上式为无穷级数其中第n项 un叫做级数的一般项级数的前n项和nSn = uk =u + u2 +us +... +unk=1称为级数的部分和.若 lim S=S存在，则称无穷级数P收敛，并称S为级数的和，记作o

定义：给定一个数列 u1 , u2 , u3 ,  , un ,  将各项依 , 1   n= un 即 称上式为无穷级数，其中第 n 项 un 叫做级数的一般项, 级数的前 n 项和 称为级数的部分和. 次相加, 简记为 收敛 , 则称无穷级数 并称 S 为级数的和, 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、常数项级数的概念

8S=Zunn=1若limS.不存在，则称无穷级数发散n>o当级数收敛时，称差值rn = S- Sn =un+1 +un+2 +...为级数的余项，显然lim rn = 0n>d

当级数收敛时, 称差值 为级数的余项. 则称无穷级数发散 . 显然 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.讨论等比级数(又称几何级数）aq" =a+aq+aq?+...+aq"+... (a*0)n=0（q称为公比）的敛散性解：1)若[+1，则部分和a-aqnn-1Sn =a+aq+aq?+...+aq"1-q当q]1时,由于 lim qn =80,从而 lim Sn=o0,n>0因此级数发散

例1. 讨论等比级数(又称几何级数) ( q 称为公比 ) 的敛散性. 解: 1) 若 q a a q n − − = 1 从而 q a n n S − → = 1 lim 因此级数收敛 , ; 1 q a − 从而 lim =  , → n n S 则部分和 因此级数发散 . 其和为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2).若q=1,则当g=1时，Sn=na—→>o,因此级数发散;当g=-1时,级数成为a-a+a-a+...+(-1)n-la+..n为奇数a,因此Sn =L0,n为偶数从而lim Sn不存在，因此级数发散1综合1)、2)可知,g|<1时,等比级数收敛;[q|≥1 时,等比级数发散

2). 若 因此级数发散 ; 因此    Sn = n 为奇数 n 为偶数 从而 综合 1)、2)可知, q  1 时, 等比级数收敛 ; q  1 时, 等比级数发散 . 则 级数成为 a, 0, 不存在 , 因此级数发散. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例如：11?(1)2(2)32n2nn=ln=0 (-1)n-1500IZ(3)-3n24n=l

机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如：

例2.判别下列级数的敛散性0n+11(I) (2)In(3)> n(n +1)nn=i nn=1解: (1)342+lnn+1Sn = ln+ In+ ln231n=(Im2 (InD)+(In3-In2)+++(In(n +1)-Inn)=ln(n+l)→00 (n→ 00)技巧:利用求“拆项相消”所以级数(1)发散;和

例2. 判别下列级数的敛散性: 解: (1) 1 2 = ln n S = (ln 2 − l n1) + (ln 3 − l n 2) ++ (ln(n +1) − l n n) = ln(n +1) →  ( n → ） 所以级数 (1) 发散 ; 技巧: 利用 “拆项相消” 求 和 2 3 + ln 3 4 + ln n n 1 ln + ++ 机动 目录 上页 下页 返回 结束

1111P(2)1. 22.33.4n·(n+l)双+-(n→)>1-n+1所以级数(2)收敛,其和为1≥=发散(调和级数)(3)n=i n(利用ln (1 +1)<1)nno

(2) ( 1) 1 3 4 1 2 3 1 1 2 1  + + +  +  +  = n n Sn        = − 2 1 1 1 1 1 + = − n →1 ( n → ） 所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .       + − 3 1 2 1       + − 4 1 3 1       + + + − 1 1 1 n n  机动 目录 上页 下页 返回 结束 (3) 发 散(调和级数） 1 1   n= n （利用 （ ） n n 1 ) 1 ln 1+ 

练习.判断下列级数的敛散性Zn=1+2+3+.+n+1.（答案：发散）n-112（答案：发散）/n1Z(答案：收敛于3.2(2n -1)(2n +1)n=12n1写出此级数，2.已知级数的部分和 snZu2nn=1并求和。Y1(答案:S=Dn=12n

(答案：发散） 练习. 判断下列级数的敛散性。 1. 2. 3. (答案：发散） 2.已知级数 的部分和 写出此级数， 并求和