《高等数学》课程教学资源（PPT课件）Ⅱ_D12_7傅立叶级数

第七节 第十一章 停里叶级款 一、 三角级数及三角函数系的正交性 二、 函数展开成傅里叶级数 三、 正弦级数和余弦级数

第七节 一、三角级数及三角函数系的正交性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、函数展开成傅里叶级数 三、正弦级数和余弦级数 第十一章 傅里叶级数

、 三角级数及三角函数系的正交性 简单的周期运动：y=Asin(ot+p) (谐波函数) (A为振幅，o为角频率，p为初相) 复杂的周期运动：如电工学中的矩形波、齿形波等 展开成级数： y=A+∑A sin(m@t+9 (谐波分析)

一、三角级数及三角函数系的正交性 简单的周期运动 : (谐波函数) ( A为振幅, 复杂的周期运动 : 为角频率,φ为初相 ) (谐波分析) 如电工学中的矩形波、齿形波等. 展开成级数 : o y x −1 − 1  −  y o x

Jy=A,+∑4nsin(nt+) A+A sin cos not+A,cosg sinnot 得函数项级数 + ∑(a,cOS+b,sinnx)） 称为三角级数， 2 n=1 问题：如何将函数展开成三角级数（傅里叶级数）？

0 A A n t A n t + + n n n n sin cos cos sin     令 , n a , n b 得函数项级数 0 1 ( cos sin ) 2 n n n a a nx b nx  = + +  称为三角级数. 问题： 如何将函数展开成三角级数（傅里叶级数）？

定理1.组成三角级数的函数系 1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,.,cosx,sinnx,. 在[-π，π]上积分正交，即其中任意两个不同的函数之积在 [-π，π]上的积分等于0. 证：1-cosdx=∫1 sind=0(n=l,2, rπ cos kx cosnxdx coskxcosnx =[cos(k+n)x+cos(k-n)x -[osk+mx+cosk-mr]Hx=0(k≠列 同理可证：2 sinsin=0(k≠n) coskxsind=0 机动 上页下页返回结球

cos(k n)x cos(k n)x d x 2 1 = + + − −   定理 1. 组成三角级数的函数系 证:  −   1 cos nxd x =  −   1 sin nxd x = 0 cos kx cos nxdx −   = 0 sin sin d = 0 − kx nx x  同理可证  : 积分正交 , 上的积分等于 0 . 即其中任意两个不同的函数之积在 cos sin d = 0 − kx nx x   (k  n ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在[一π，π] 上的积分不等于0.且有 [1-1dx=2元 cosnx dx=π (n=1,2,.） sin2nxdx=元 cos2 nx= 1+cos2nx sin2 nx= 1-cos 2nx 2 2 8 汉▣ 结

上的积分不等于 0 .    11d = 2 − x sin nxdx 2 −   cos n xdx 2 −   , 2 1 cos 2 cos2 nx nx + = 2 1 cos 2 sin2 nx nx − = 且有 =  =  但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、函数展开成傅里叶级数 定理2.设f(x)是周期为2元的周期函数，且 f(x)= +∑n+b,stn) 00 2 n=1 右端级数可逐项积分，则有 〔a,=(cos=0.1,- 2 1b,=∫))simd=1,2, 证：由定理条件，对①在[-π，π]逐项积分，得 /wh-2jax+onjeasdk+. sin nx dx -π 下页返回结束

二、函数展开成傅里叶级数 定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且 ( cos sin ) 2 ( ) 1 0 a nx b nx a f x n n n = +  +  = 右端级数可逐项积分, 则有 证: 由定理条件,     +    =  +     − − =1 − − 0 d cos d sin d 2 ( ) n n n x a nx x b nx x a f x dx         ① ② 对①在 逐项积分, 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束

a0= "f(x)dx coskxdx+ cococsin d =acos"ko dx ak (利用正交性) a4=Jf八x)coskdx(k=1,2,） 类似地，用sikx乘①式两边，再逐项积分可得

= +   − − kx x a f x kx x cos d 2 ( )cos d 0       =   + n 1 + − a kx nx x n cos cos d   b kx nx x n cos sin d −   a kx x k cos d 2 − =   a f x kx x k ( )cos d 1 −  =    ( k =1, 2, ) (利用正交性)   ( )sin d ( 1, 2, ) 1 =  =  − b f x kx x k k    a f (x)d x 1 0 −  =    类似地, 用 sin k x 乘 ① 式两边, 再逐项积分可得 机动 目录 上页 下页 返回 结束

f(x)= g+(a,cos+b,sm） an 2fx)cosdx(n=0,l,.) f(x)sinnxdx(n=1,2,.） 由公式②确定的an,b称为函数 f(x)的傅里叶系数；以f(x)的傅里 叶系数为系数的三角级数①称为 f(x)的傅里叶级数 傅里叶，J.B.J 上页下页返回结束

叶系数为系数的三角级数 ① 称为 的傅里叶系数 ; ( )  = = + + 1 0 cos sin 2 ( ) n n n a nx b nx a f x − = =    ( )cos d ( 0,1, ) 1 an f x nx x n  由公式 ② 确定的 ① ② 以 − = =    ( )sin d ( 1, 2, ) 1 bn f x nx x n  的傅里 的傅里叶级数 . 称为函数 傅里叶 目录 上页 下页 返回 结束

定理3（收敛定理，展开定理） 设f(x)是周期为2π的 周期函数，并满足狄利克雷(Dirichlet)条件： 1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点， 2)在一个周期内只有有限个极值点 则f(x)的傅里叶级数收敛，且有 注意：函数展成 傅里叶级数的条 00 a+∑ an cos nx+b,sin nx） 件比展成幂级数 的条件低得多 f(x), x为连续点 1fx)+fx) x为间断点 2 其中an,bn为f(x)的傅里叶系数.（证明略） 返回

定理3 (收敛定理, 展开定理) 设 f (x) 是周期为2的 周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件: 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点; 2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有     = f (x) , , 2 ( ) ( ) + − f x + f x x 为间断点 其中 an bn , 为 f (x) 的傅里叶系数 . ( 证明略 ) x 为连续点 注意: 函数展成 傅里叶级数的条 件比展成幂级数 的条件低得多. 简介 目录 上页 下页 返回 结束

例1.设f(x)是周期为2π的周期函数，它在[-π，π) 上的表达式为 -π≤x<0 f(x) 0≤x<π 将f(x)展成傅里叶级数 解：先求傅里叶系数 a,=-["f(x)cosmdx 入 一π 1rπ =0 (n=0,1,2,.） 下页返回结束

例1. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 上的表达式为      − −   =   x x f x 1, 0 1, 0 ( ) 解: 先求傅里叶系数   = − +  −     0 0 1 cos d 1 ( 1)cos d 1 nx x nx x = 0 ( n = 0 ,1, 2 , ) 将 f (x) 展成傅里叶级数. o y x −1 − 1  机动 目录 上页 下页 返回 结束