《高等数学》课程教学资源（PPT课件）Ⅱ_D12_3幂级数

第十一章第三节幂级数一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性三、 幂级数的运算olelolol

第三节 一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算 幂级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十一章

函数项级数的概念设un(x)(n=1,2,…)为定义在区间I上的函数,称Eun(x) = ui(x)+ u2(x)+...+un(x)+..n=1为定义在区间I上的函数项级数8对 xoI，若常数项级数un(xo)收敛，称 xo为其收n=敛点，所有收敛点的全体称为其收敛域；若常数项级数乙un（xo）发散，称xo为其发散点，所有n=1发散点的全体称为其发散域

一、 函数项级数的概念 设 为定义在区间 I 上的函数项级数 . 对 若常数项级数 敛点, 所有收敛点的全体称为其收敛域 ; 若常数项级数 为定义在区间 I 上的函数, 称 收敛, 发散 , 所有 0 称 x 为其收 0 称x 为其发散点, u (x) (n = 1, 2, ) n 发散点的全体称为其发散域 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

在收敛域上，函数项级数的和是x的函数 S(x)，称它为级数的和函数，并写成S(x)=Eun(x)若用S，(x)表示函数项级数前n项的和，即Sn(x) =Eur(x)k=1令余项 rn(x)= S(x)-Sn(x)则在收敛域上有lim Sn(x)= S(x),lim rn(x) = 0n>00no

为级数的和函数 , 并写成 若用 令余项 则在收敛域上有 表示函数项级数前 n 项的和, 即 在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数 称它 机动 目录 上页 下页 返回 结束

S例如,等比级数x"=1+x+x2+..+x+...n=0它的收敛域是(-1,1),当xE(-1,1)时，有和函数801≥+n1- xn=0它的发散域是（-80，-1]及[1,+0），或写作|x|≥18x"+x-n又如,级数(x≠0),当x|=1时收敛，nn=0但当0<x1时，limun(x)=80,级数发散;所以级数的收敛域仅为x=1.oog

例如, 等比级数 它的收敛域是 它的发散域是 (− , −1 ] 及 [1，+ ）, 或写作 x  1. 又如, 级数 级数发散 ; 所以级数的收敛域仅为 有和函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束

幂级数及其收敛性8Zan(x-xo)"= ao +ai(x-xo)+a2(x-xo) +形如n=0...+an(x-xo)" +...的函数项级数称为幂级数，其中数列an（n=0,l,)称为幂级数的系数，下面着重讨论 xo=0的情形,即Zanx" = ao +ajx+a2x?+...+ax"n=081x<1 即是此种情形例如，幂级数1-n=0

二、幂级数及其收敛性 形如 的函数项级数称为幂级数, 其中数列 下面着重讨论 例如, 幂级数 , 1 1 1 0  −  =  = x x x n n 为幂级数的系数 . 即是此种情形. 的情形, 即 称 机动 目录 上页 下页 返回 结束

8定理1.（Abel定理）若幂级数Zann=0在x=xo点收敛，则对满足不等式|xxo的一切x幂级数都绝对收敛反之，若当x=xo时该幂级数发散，则对满足不等式[x|>|xo「的一切x，该幂级数也发散证：设anx 收敛,则必有lim anx=0,于是存在n-00n=0常数 M>0,使anx≤M (n=1,2,..)

o x 定理 1. ( Abel定理 ) 若幂级数   n=0 n n a x 则对满足不等式 的一切 x 幂级数都绝对收敛. 反之, 若当 的一切 x , 该幂级数也发散 . 时该幂级数发散 , 则对满足不等式 证: 设 收敛, 则必有 于是存在 常数 M > 0, 使 阿贝尔 目录 上页 下页 返回 结束

nnrxx≤M?xoXoxo80当|x|xo「且使级数收敛，则由前面的证明可知，级数在点x。也应收敛，与所设矛盾，故假设不真．所以若当x=xo时幂级数发散，则对一切满足不等式x>xo|的x，原幂级数也发散.证毕olelolol

当 时, 0 x  x 收敛, 故原幂级数绝对收敛 . 也收敛, 反之, 若当 0 x = x 时该幂级数发散 ,下面用反证法证之. 假设有一点 1 x 1 0 x  x 0 x 满足不等式 0 x  x 所以若当 0 x = x 满足 且使级数收敛 , 面的证明可知, 级数在点 故假设不真. 的 x , 原幂级数也发散 . 时幂级数发散 , 则对一切 则由前 也应收敛, 与所设矛盾, n n n n n n x x a x a x 0 = 0 n n n x x a x 0 0 =  证毕 机动 目录 上页 下页 返回 结束

一几何说明幂级数收敛的特性收敛区域发散区域发散区域+x0-RR发悠敛点黛8推论如果幂级数a,x"不是仅在x=0一点收敛，n=0也不是在整个数轴上都收敛.则必有一个完全确定的正数R存在，它具有下列性质：当[xR时，幂级数发散;当|x=R时，幂级数可能收敛也可能发散

幂级数收敛的特性——几何说明 发散区域 收敛区域 发散区域 −R R x O 推论 0 n n n a x  = 如果幂级数  不是仅在 x = 0 一点收敛, 存在, 它具有下列性质: 也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定的正数 R 当| | x R  时，幂级数绝对收敛； 当| | x R  时，幂级数发散； 当| | x R = 时，幂级数可能收敛也可能发散. 收 敛 点 发 散 点

定义：正数R称为幂级数的收敛半径(-R,R）称为幂级数的收敛区间，收敛域=收敛区间+收敛的端点可能是(-R,R)，[-R,R),(-R,R]，[-R,R]规定（1）幂级数只在x=0处收敛时，R=0;(2）幂级数对一切x都收敛时，R=+0;问题:如何求幂级数的收敛半径？

( , ) −R R 称为幂级数的收敛区间， 收敛域 = 收敛区间 + 收敛的端点 可能是 ( , ), −R R [ , ), −R R ( , ], −R R 规定 R = 0； 问题: 如何求幂级数的收敛半径? 定义: 正数R 称为幂级数的收敛半径. [ , ]. −R R （1）幂级数只在x = 0处收敛时， （2）幂级数对一切 x 都收敛时， R = +；

8an+l定理2.若Zanxn的系数满足lim[=p,则ann-→n=01)当p时，R= O2)当p =0时,R= 80;3)当p =oo时，R=0.an+1+h+an+l证：lim= limoLXanxhn-00ann-一一1)若p0，则根据比值审敛法可知：当p|x1，即x[>时,原级数发散

x a a a x a x n n n n n n n n =  + → + + → 1 1 1 lim lim 定理2. 若 的系数满足 ; 1  R = R =  ; R = 0 . 证: 1) 若 ≠0, 则根据比值审敛法可知: 当  x  1 , 原级数收敛; 当  x  1 , 原级数发散. 即  1 x  时, 1) 当 ≠0 时, 2) 当 ＝0 时, 3) 当 ＝∞时, 即 时, 则  1 x  机动 目录 上页 下页 返回 结束