《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第十一章_D11_6高斯公式

第之节 第十一章 高斯公式 通量与漱度 推广 Green公式 Gauss公式 一、高斯公式 *二、 沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 三、通量与散度 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

第六节 Green 公式 Gauss 公式 推广 一、高斯公式 *二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 三、通量与散度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 高斯公式 通量与散度 第十一章

高斯(Gauss)公式 定理1.设空间闭区域2由分片光滑的闭曲 面Σ所围成，Σ的方向取外侧，函数P,Q,R在 Ω上有连续的一阶偏导数，则有 dxdydz =Pdyd=+0d=dx+Rdxdy (Gauss公式 下面先证 瓜8船4dd:=其R43 HIGH EDUCATION PRESS 高斯目录上页下页返回结束

一、高斯 ( Gauss ) 公式 定理1. 设空间闭区域  由分片光滑的闭曲  上有连续的一阶偏导数 ,  = Pd y d z + Q d z d x + Rdx d y x y z z R d d d     = Rd x d y 下面先证: 面 所围成,  的方向取外侧, 函数 P, Q, R 在 则有 (Gauss 公式) 高斯 目录 上页 下页 返回 结束

证明：设Q:z1(x,y)≤z(x,y)≤22(x,y),(x,y)∈Dy 为XY型区域，∑=∑1U∑2U∑3，∑1：=1(x,y) ∑2：2=2(x,y),则 r82ddd-ngdy7a =了D{R(x,y2(x,y)》 22 -R(x,y,z(x,y))dxdy 月Rdxdy=(,++s,)Rdxdy =j2RK,y,2x,y)ddy-小bR(x,y,(,y》dxdy HIGH EDUCATION PRESS 定理1目录上页下页返回结束

2 3 1  z y x Dxy  R(x, y, ) − R(x, y, ) d x d y : ( , ), 1 1  z = z x y 证明: 设 ,  = 1  2  3 z z z x y R z x y d ( , ) ( , ) 2 1     = Dx y ( , ) 2 z x y ( , ) 1 z x y  Rd x d y  = Dx y (  = 2 x y z z R d d d    d x d y  + 1  + 3 )R d x d y 为XY型区域 , : ( , ), 2 2  z = z x y 则 R(x, y, )dxdy  − Dx y  = Dx y ( , ) 2 z x y R(x, y, ( , )) d xdy 1 z x y 定理1 目录 上页 下页 返回 结束

所以 0ddyd: Rdxdy 若Ω不是XY-型区域，则可引进辅助面 将其分割成若干个XY一型区域，在辅助面 正反两侧面积分正负抵消，故上式仍成立 类似可证 04dy:=0,8 . 228.a:K0:8 三式相加，即得所证Gauss公式： 号 )d xd ydz "Oz =队Pddz+Qd=dx+Rdxd HIGH EDUCATION PRESS 定理1目录上页下页返回结束

所以 x y z z R d d d     = Rd x d y 若  不是 XY–型区域 , 则可引进辅助面 将其分割成若干个 XY–型区域, 正反两侧面积分正负抵消, 故上式仍成立 . 在辅助面 类似可证 x y z y Q d d d     = Pd y d z + Q d z d x + Rd xdy ( ) x y z z R y Q x P d d d   +   +     = Qd z d x x y z x P d d d     = Pd y d z 三式相加, 即得所证 Gauss 公式： 定理1 目录 上页 下页 返回 结束

例1.用Gauss公式计算月(x-y)dxdy+(y-z)xdydz 其中∑为柱面x2+y2=1及平面：=0，z=3所围空间 闭域Ω的整个边界曲面的外侧 解：这里P=(y-z)x,Q=0,R=x-y 利用Gauss公式，得 原式=J川2（y-)dxdyd:-(用柱坐标 (rsino-=)rdrded= = ="dordrf(rsino-2)dz- 9元 2 思考：若Σ改为内侧，结果有何变化？ 若Σ为圆柱侧面取外侧，如何计算？ HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例1. 用Gauss 公式计算 其中 为柱面 闭域  的整个边界曲面的外侧. 解: 这里 利用Gauss 公式, 得 原式 =  ( y − z)d x d y d z  = (rsin − z)r dr d d z (用柱坐标) d rd r (rsin z) dz 3 0 1 0 2 0    =   −  2 9 = − x 3 o z 1 y P = ( y − z)x, Q = 0, R = x − y 及平面 z = 0 , z = 3 所围空间 思考: 若  改为内侧, 结果有何变化? 若  为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算? 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.利用Gauss公式计算积分 I-(2cosa+ycosB+zcosy)ds 其中∑为锥面x2+y2=:2介于：=0及 z=h之间部分的下侧 解：作辅助面 ∑1：z=h,(x,y)eDy:x2+y2≤h2,取上侧 记∑，∑所围区域为2，则 在1上a=B=3,y=0 I=(os cos+eos)ds =2(x+y+=)dxdydz-f h2dxdy HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例2. 利用Gauss 公式计算积分 其中  为锥面 2 2 2 x + y = z  h o z y 解: 作辅助面 x : , 1  z = h ( , ) : , 2 2 2 x y D x y h  x y +  取上侧  +  = 1 I (  − 1 )(x cos y cos z cos ) d S 2 2 2  +  +  , 0 2 1  =  =  = 在 上  介于 z = 0 及 z = h 之间部分的下侧. 1 记, 1 h 所围区域为, 则  = 2 (x + y + z)d x d y d z h x y Dx y d d 2  − 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2。y4t-0ady 利用重心公式，注意x=y=0 =2。=dxdyd-πh4 =2π2d-πh4 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

 I = 2 (x + y + z)d xdydz 利用重心公式, 注意 x = y = 0  = 2 z d x d ydz 4 − h h x y Dx y d d 2  − 4 2 1 = −  h  = h z 0 2 2  z dz 4 − h  h o z y x 1 h 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3.设2为曲面：=2-x2-y2,1≤：<2取上侧，求 1=[(x3z+x)dyd=-x2yzdzdx-x2-2dxdy. 解：作取下侧的辅助面 12=1(x,y)eDyx2+y2≤1 1=射-∬ 用柱坐标 用极坐标 Σ+∑ =dxd-(-D(-32)dxdy -fdordrdz-csodolar HIGH EDUCATION PRESS 机动目 下页返回结束

例3. ( ) d d d d d d . 3 2 2 2  I = x z + x y z − x yz z x − x z x y 设 为曲面 2 , 1 2 2 2 z = − x − y  z  取上侧, 求 解: 作取下侧的辅助面 : 1 1 z = ( , ) : 1 2 2 x y  Dx y x + y  I =   +  − 1 1  = d x d ydz ( x )d x d y 2 − Dxy − (−1)  =   2 0 d 1 0 r r d   −    2 0 2 cos d = 1 z o x y 2 1  用柱坐标 用极坐标 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例4.设函数(x,y,),(x,y,)在闭区域2上具有一阶和 二阶连续偏导数，证明格林(Green)第一公式 P=u dxdydz 含 Q=u =月” Ov cosa .cos+ o cosy 小小 ds x R=u 瓜。 Bu Ov Ou Ov )dxdydz Oy Oy 其中Σ是整个Ω边界面的外侧 分析：高斯公式 )dxd ydz =fPdyd=+Qdzdx+Rdxdy HIGH EDUCATION PRESS Oe0C08 机动目录上页下页返回结束

        +   +   cos cos  cos z v y v x v 在闭区域 上具有一阶和 二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公式 d S 例4. 设函数  u d x d y d z  = u (  − )d x d y d z x u   y u   + y v   z u   + z v   其中  是整个  边界面的外侧. P = u x v   Q = u y v   R = u z v   分析: ( ) x y z z R y Q x P d d d    +   +    = Pd y d z + Q d z d x + Rd x d y x v   高斯公式           +   +   2 2 2 2 2 2 z v y v x v 机动 目录 上页 下页 返回 结束

Ov 证：令P=w ox' D=u R=u 由高斯公式得 0z I iw @2v 0-v 1 Ou Bv.Ou Ov.Ou Ov x 0y 0y 0z Oz ]dxdydz dydz+ Ov dzdx+82 y vdxdy cosa ds Oy 移项即得所证公式.（见P235) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

证:令 P = u , x v   Q = u , y v   R = u , z v   由高斯公式得           +   +   2 2 2 2 2 2 z v y v x v         +   +   cos cos  cos z v y v x v  = u d S 移项即得所证公式.(见 P235) y v   z v   x v   机动 目录 上页 下页 返回 结束