《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第十一章_D11_4对面积曲面积分

第四节 第十一章 对面积的曲面积分 一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法 HIGH EDUCATION PRESS 下页返回结束

第四节 一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对面积的曲面积分 第十一章

一、对面积的曲面积分的概念与性质 引例：设曲面形构件具有连续面密度P(x,y,z),求质 量M 类似求平面薄板质量的思想，采用 (5k,7k,5k） “大化小，常代变，近似和，求极限 的方法，可得 M =lim ∑p(5,nk,5)△SE 1 -→0k 其中，入表示n小块曲面的直径的 最大值（曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者） HIGH EDUCATION PRESS 0eOC①8 机动目录上页下页返回结束

o x y z 一、对面积的曲面积分的概念与性质 引例: 设曲面形构件具有连续面密度 类似求平面薄板质量的思想, 采用 可得  = n k 1 M = ( , , )  k k  k 求质 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 的方法,  量 M. 其中,  表示 n 小块曲面的直径的 最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者). 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定义：设∑为光滑曲面，f(x,y)是定义在∑上的一 个有界函数，若对Σ做任意分割和局部区域任意取点， “乘积和式极限” ∑5,5)△S作 ff(x.=)as k= 都存在，则称此极限为函数f(x,y)在曲面∑上对面积 的曲面积分或第一类曲面积分.其中f(x,y)叫做被积 函数，Σ叫做积分曲面 据此定义，曲面形构件的质量为M=八p(x,y,)dS 曲面面积为S=川ds HIGH EDUCATION PRESS 机动目 上页下页返回结束

M (x, y,z)d S  =  定义: 设  为光滑曲面, “乘积和式极限” 都存在, 的曲面积分   f (x, y,z)d S 其中 f (x, y, z) 叫做被积 据此定义, 曲面形构件的质量为 曲面面积为 f (x, y, z) 是定义在  上的一 个有界函数, 记作 或第一类曲面积分. 若对  做任意分割和局部区域任意取点, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面  上对面积 函数,  叫做积分曲面. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似 ·积分的存在性若f(x,y,z)在光滑曲面∑上连续 则对面积的曲面积分存在 ·对积分域的可加性.若Σ是分片光滑的，例如分成两 片光滑曲面∑1，∑2，则有 八3fxx)ds=八3fx)ds+儿，fx,y2s 线性性质设飞，k2为常数，则 5[kf(x,y)±kg(x,y,=S =k1∬sf(x,y,a)ds±k广 g(x,y,=)ds HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

则对面积的曲面积分存在. • 对积分域的可加性. , , 1 2 则有 =  f (x, y,z)d S 1 f (x, y,z)d S    k f (x, y,z)  k g(x, y,z) d S 1 2 • 线性性质.     = k f (x, y,z)dS  k g(x, y,z)dS 1 2 在光滑曲面  上连续, 对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似. • 积分的存在性. 若  是分片光滑的, 例如分成两 片光滑曲面 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、对面积的曲面积分的计算法 定理：设有光滑曲面 Σ：z=z(x,y),(x,y)∈Dx f(x,y)在∑上连续，则曲面积分 八sfx,y)s存在且有 fis △Ok)xy 5,7,5 +)+z,"(.)dxdy 证明：由定义知 八3fx,y,2)ds=m ∑/(5，n,5)△S →0 k=1 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

o x y z 定理: 设有光滑曲面 f (x, y, z) 在  上连续,  存在, 且有  f (x, y,z)dS  = Dx y f (x, y, ) 二、对面积的曲面积分的计算法 则曲面积分 证明: 由定义知  = n k 1 0 lim → Dxy ( , , )  k k  k k x y ( )  机动 目录 上页 下页 返回 结束

而S=川o1+,x)+,2xddy =√1+2x2(5,)+y(5,7)△o)灯 八5fx,as =m/5n,5》 k=] V1+x2(5,7)+三)(5，)（△ok)xy =∑5sn5,n》 (②光滑) k=] 1+5 )+5k k)(AGK)y f(x.y,z(x.y))+=2(x.y)+z,2(x.y)dxdy = HIGH EDUCATION PRESS O◆00⊙8 机动目录上页下页返回结束

z x y z x y x y k x y x y 1 ( , ) ( , ) d d ( ) 2 2   + +  x k k y k k k xy 1 z ( , ) z ( , )( ) 2 2 = +   +    x k k y k k k xy 1 z ( , ) z ( , )( ) 2 2 +   +    x k k y k k k xy 1 z ( , ) z ( , )( ) 2 2 +   +    f x y z x y z x y x y x y Dx y ( , , ) 1 ( , ) ( , )d d 2 2 = + +  ( , , ( , )) k k k k f   z   ( , , ( , )) k k k k f   z     f (x, y,z)dS 而 (光滑) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

说明： 1)如果曲面方程为 x=x(y,z),(y,=)E Dyz 或y=y(x,),(x,)∈Dx 可有类似的公式 2)若曲面为参数方程，只要求出在参数意义下dS 的表达式，也可将对面积的曲面积分转化为对参数的 二重积分.（见本节后面的例4，例5） HIGH EDUCATION PRESS 机动目 下页返回结束

说明: Dyz x = x( y,z), ( y,z) Dxz 或 y = y(x,z), (x,z) 可有类似的公式. 1) 如果曲面方程为 2) 若曲面为参数方程, 只要求出在参数意义下dS 的表达式 , 也可将对面积的曲面积分转化为对参数的 二重积分. (见本节后面的例4, 例5) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例计党曲面职分儿： 其中是球面x2+ y2+z2 =a被平面z=h(0<h<a)截出的顶部 解：：z=Na2-x2-y2,(x,y)eDy Dxy:x2+y2sa2-h2 1++0-y -川aiy=o Ja2-h2 rd i -2xain(a2 alng HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

Dxy 例1. 计算曲面积分 其中是球面 被平面 截出的顶部. 解: 2 2 2 2 D : x y a h xy +  − 2 2 1 x y + z + z   z d S  =   2 0 a d 0 ln( ) 2 1 2 2 2 2 2 a h a a r +   − −   =   − − = Dx y a x y a x y 2 2 2 d d  − − 2 2 0 2 2 a h d a r r r o x z y  h a 机动 目录 上页 下页 返回 结束

思考： 若∑是球面x2+y2+z2=a2被平行平面：=±h截 出的上下两部分，则 r信(alng) HIGH EDUCATION PRESS 机动目 录上页下页返回结束

思考: 若  是球面 被平行平面 z =±h 截 出的上下两部分, ( ) d =   z S ( ) d =   z S 0 h 4 ln a  a 则 h − h  o x z y  机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.计算环xyzdS,其中∑是由平面x+y+z=1与 坐标面所围成的四面体的表面 解：设∑1，∑2，∑3，∑4分别表示Σ在平面 x=0,y=0,z=0,x+y+z=1上的部分，则 原赋-（+，+，+e,Jds j八3，xds 区1=1-xG=D062 =3可6xdx00-x-ydy=20 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例2. 计算 其中 是由平面 坐标面所围成的四面体的表面. o z y x 1 1 1 解: 设 上的部分, 则 1 2 3 4  ,  ,  ,      = 4 xyz d S : 1 , 4  z = − x − y        −  0 1 0 1 ( , ) : x y x x y Dxy  − − − x y x y y 1 0 (1 ) d 120 3 = 与  = 1 0 3 x dx         + + + 1 2 3 4  xyz dS  原式  = 分别表示 在平面 机动 目录 上页 下页 返回 结束