《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第九章_D9_5隐函数的求导公式

第五节 第九章 隐画数的求导方法 一、 一个方程所确定的隐函数 及其导数 二、方程组所确定的隐函数组 及其导数 HIGH EDUCATION PRESS 机动 返回 结束

第五节 第九章 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一个方程所确定的隐函数 及其导数 二、方程组所确定的隐函数组 及其导数 隐函数的求导方法

本节讨论： 1)方程在什么条件下才能确定隐函数 例如，方程x2口少☐C口0 当C0时，不能确定隐函数 2)在方程能确定隐函数时，研究其连续性、可微性 及求导方法问题 HIGH EDUCATION PRESS 机动 结束

本节讨论 : 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 . 例如, 方程 当 C 0 时, 不能确定隐函数; 2) 在方程能确定隐函数时, 研究其连续性、可微性 及求导方法问题 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

一、一个方程所确定的隐函数及其导数 定理1.设函数F(x,y)在点P(xo,yo)的某一邻域内满足 ①具有连续的偏导数： ②F(x0,yo)☐0； ③F,(x0,y0)☐0 则方程F(x,y)口0在点x的某邻域内可唯一确定一个 连续函数y=f(x),满足条件yo口f(xo),并有连续 导数 (隐函数求导公式) dx 定理证明从略，仅就求导公式推导如下： HIGH EDUCATION PRESS 返回

一、一个方程所确定的隐函数及其导数 定理1. 设函数 则方程 连续函数 y = f (x) , 并有连续 (隐函数求导公式) 定理证明从略，仅就求导公式推导如下： ① 具有连续的偏导数; 的某邻域内可唯一确定一个 在点 的某一邻域内满足 ② ③ 满足条件 机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数

设y口f(x)为方程F(x,y)□0所确定的隐函数，则 F(x,f(x)☐0 两边对x求导 0 x □ydx 在(xo,yo)的某邻域内F,☐0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上

两边对 x 求导 在 的某邻域内 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束

若F(x,y)的二阶偏导数也都连续，则还有 F 二阶导数： F nof2o2F5of2 F HIGH EDUCATION PRESS 机动 下页 返回结束

若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续, 二阶导数 : 则还有 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.验证方程x2+y2-1=0 在点(0,1)某邻域 可确定一个单值可导隐函数y口f(x),并求 dy xx☐0'dr2x口0 解：令F(x,y)=x2+y2-1,则 ①F=2x,F,=2y连续， ②F0,1)=0, ③F(0,1)=2 ▣0 由定理1可知，在x=0的某邻域内方程存在单值可 导的隐函数y口f(x),且 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录

例1. 验证方程 在点(0,1)某邻域 可确定一个单值可导隐函数 解: 令 连续 , 由 定理1 可知, ① 导的隐函数 则 ② ③ 在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可 且 机动 目录 上页 下页 返回 结束 并求

)F,x0 -y-1 =0 =.y-y y=l ro=0 =-1 HIGH EDUCATION PRESS 机动 下页 返回结束

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定理2.若函数F(x,y,z)满足 ①在点P(x0,0,20)的某邻域内具有连续偏导数， ②F(x,y0,20)☐0 ③F,(,y0,20)☐0 则方程F(x,y,z)口0在点(xo,yo)某一邻域内可唯一确 定一个连续函数z=f(x,y),满足z0口(x0,y0) 并有连续偏导数 定理证明从略，仅就求导公式推导如下： HIGH EDUCATION PRESS 机动

定理2 . 若函数 的某邻域内具有连续偏导数 , 则方程 在点 并有连续偏导数 定一个连续函数 z = f (x , y) , 定理证明从略, 仅就求导公式推导如下: 满足 ① 在点 满足: ② ③ 某一邻域内可唯一确 机动 目录 上页 下页 返回 结束

设z=f(x,y)是方程F(x,y,z)=0所确定的隐函数，则 F(x,y,f(x,y)☐0 两边对x求偏导 F口F 口0 Cx 在(x0,yo,20)的某邻域内F☐0 F 同样可得 HIGH EDUCATION PRESS 返回 结束

两边对 x 求偏导 同样可得 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.设x2y2☐z24z口0，求 解：设F(x,y,z)口x2口y2口z2□4z 则F口2x,F☐2z04 z z☐2 2☐z 两边对x求偏导 (2☐z)☐x C (20z)20x2 (2☐z)3 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录

例2. 设 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解：设 则 两边对 x 求偏导