《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第七章课件_第六节 高阶线性微分方程

第七章 第之为 高阶钱性微分方程 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

高阶线性微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第六节 第七章

二、二阶线性微分方程 y”+p(x)y+q(x)y=f(x),为二阶线性微分方程 f(x)≡0时，称为齐次方程 f(x)丰0时，称为非齐次方程， 复习：一阶线性方程y'+P(x)y=Q(x) 通解y=CeP+e-rx(x) dx 齐次方程通解Y 非齐次方程特解y HIGH EDUCATION PRESS 机动目 页下页返回结束

为二阶线性微分方程. y  + p( x) y  + q( x) y = f ( x), 时, 称为非齐次方程 ; f ( x)  0 时, 称为齐次方程. 复习: 一阶线性方程 y  + P( x) y = Q( x) 通解:    − + e Q x e x P x x P x x ( ) d ( ) d ( ) d  − = P x x y C e ( ) d 齐次方程通解Y 非齐次方程特解  y f ( x)  0 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二阶线性微分方程

1、函数组的线性相关与线性无关 定义：设y1(x),y2(x),yn(x)是定义在区间1上的 n个函数，若存在不全为0的常数k1,k2,kn,使得 ky1(x)+k2y2(x)++knyn(x)≡0，x∈I 则称这个函数在1上线性相关，否则称为线性无关 例1，cos2x,sin2x,在任何区间1上都线性相关 1-cos2x-sin2x≡0 例1，x,x2,在任何区间1上都线性无关. k1+k2x+k3x2=0,k1,k2,k3必需全为0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

定义: ( ) , ( ) , , ( ) 1 2 y x y x y x 设  n 是定义在区间 I 上的 n 个函数, 使得 则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关. 例 在任何区间 I 上都线性相关; 例 必需全为 0 在任何区间 I 上都 线性无关. 若存在不全为 0 的常数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1、函数组的线性相关与线性无关

两个函数线性相关与线性无关的充要条件 (x),y2(x)线性相关 存在不全为0的k1,k2使 ky1(x)+k2y2(x)≡0 (x)= 常数 '2(x) k (不妨设 k,≠0） 1(x),2(x)线性无关 ( y2(x) 圭常数 HIGH EDUCATION PRESS 页下页返回结束

两个函数线性相关与线性无关的充要条件 线性相关 存在不全为 0 的 使 1 2 2 1 ( ) ( ) k k y x y x  − ( 不妨设 0 ) k 1  线性无关 ( ) ( ) 2 1 y x y x 常数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 =常数

2、线性微分方程解的结构 定理1.若函数y(x),y2(x)是二阶线性齐次方程 y"+P(x)y'+Q(x)y=0 的两个解则y=Cy1(x)+C2y2(x)(C1,C2为任意常数) 也是该方程的解.（叠加原理） 证：将y=C(x)+C2y2(x)代入方程左边，得 [C1y+C2y2]+P(x)[C1y+C2y3] +0(x)[C1y1+C2y2] =C1[y”+P(x)y%+Q(x)y1] +C2[y2+P(x)y2+Q(x)y2]=0证毕 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

( ) [ ] + P x C1 y1  + ( )[ ] + Q x C1 y1 + = 0 证毕 2、线性微分方程解的结构 ( ) , ( ) 1 2 若函数 y x y x 是二阶线性齐次方程 y  + P( x) y  + Q( x) y = 0 的两个解, 也是该方程的解. 证: ( ) ( ) 1 1 2 2 将 y = C y x + C y x 代入方程左边, 得 [ ] C1 y1  + 2 2 C y  2 2 C y  2 2 C y [ ( ) ( ) ] 1 1 1 1 = C y  + P x y  + Q x y [ ( ) ( ) ] 2 2 2 2 + C y  + P x y  + Q x y (叠加原理) ( ) ( ) 1 1 2 2 则 y = C y x + C y x 定理1. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

说明： y=C1y(x)+C2y2(x),一定是二阶线性方程的解， 但不一定是二阶方程的通解 例 y"-3y'+2y=0 V(x)-e",v2(x)=ex+2 是它的解 3=e2x Cy(x)+C2y2(x)=Ce*+Ce*2 也是方程的解 但是并不是通解 因为Cy,(x)+C2y(x)=Ce+Ce C+C,e2)e* Cy(x)+C:y;(x)=Ce*+Ce 是通解 HIGH EDUCATION PRESS 动目寻 上页下页返回结束

说明: ，一定是二阶线性方程的解， 例 是它的解 但是并不是通解 ( ) ( ) 1 1 2 2 y = C y x + C y x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 y y y   − + = 3 2 0 也是方程的解 因为 但不一定是二阶方程的通解. 2 3 x y e = 是通解

定理2.若y(x),y2(x)是二阶线性齐次方程的两个线 性无关特解，则y=C1y1(x)+C2y2(x)(C1,C2为任意常 数)是该方程的通解 定理3.设y*(x)是二阶非齐次线性方程 y"+P(x)y'+O(x)y=f(x) 的一个特解，Y(x)是相应齐次方程的通解 则y=Y(x)+y*(x)是非齐次方程的通解 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

定理 2. 是二阶线性齐次方程的两个线 性无关特解, 则 ( ) ( ) 1 1 2 2 y = C y x + C y x 数) 是该方程的通解. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设 y * ( x) 是二阶非齐次线性方程 的一个特解, y = Y ( x) + y * ( x) Y (x) 是相应齐次方程的通解, 定理 3. 则 是非齐次方程的通解

例2.设线性无关函数1，y2,y3都是二阶非齐次线 性方程y”+P(x)y'+Q(x)y=f(x)的解，C,C2是任意 常数，则该方程的通解是(D), (A)CM1+C2y2+y3; (B)C1y1+C2y2+(C1+C2)y3 (C)Cy+C2y2-(1-C1-C2)y3 (D)Cy1+C2y2+(1-C-C2)3 提示：(C)C(M-)+C20y2-)- (D)C(y1-3)+C2(2-y3)+3 y1-y3,y2-y3都是对应齐次方程的解 二者线性无关 HIGH EDUCATION PRESS 下页返回结束

常数, 则该方程的通解是 ( ). 设线性无关函数 都是二阶非齐次线 性方程 y  + P( x) y  + Q ( x) y = f ( x) 的解, 1 2 C ,C 是任意 ( ) ( ) ; 1 1 2 2 1 2 3 B C y + C y + C + C y ( ) (1 ) ; 1 1 2 2 1 2 3 C C y + C y − − C − C y D 例2. 提示: 1 3 2 3 y − y , y − y 都是对应齐次方程的解, 二者线性无关 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3.已知微分方程y”+p(x)y+q(x)y=f(x)有三 个解y=x,y2=e,3=e2,求此方程满足初始条件 y(0)=1,y'(0)=3的特解 解：y2-与-是对应齐次方程的解，且 y2-业=e-x≠常数 %3-y1 e2x-x 因而线性无关，故原方程通解为 y=Ci(e*-x)+C2(e2*-x)+x 代入初始条件y(0)=1,y'(0)=3,得C1=-1,C2=2 故所求特解为y=2e2x-e HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例3. 已知微分方程 y  + p( x) y  + q( x) y = f ( x) 个解 , , , 2 1 2 3 x x y = x y = e y = e 求此方程满足初始条件 y (0) = 1, y (0) = 3 的特解 . 解: 2 1 3 1 y − y 与 y − y 是对应齐次方程的解, 且  − − = − − e x e x y y y y x x 2 3 1 2 1 常数 因而线性无关, 故原方程通解为 = ( − ) + ( − ) + 2 1 2 y C e x C e x x x 代入初始条件 y (0) = 1, y (0) = 3, 1, 2 , 得 C1 = − C2 = 2 . 2 x x 故所求特解为 y = e − e 有三 机动 目录 上页 下页 返回 结束

推论。若1，y2,yn是n阶齐次方程 y(m)+a (x)y(-D++an-(x)y'+an(x)y=0 的n个线性无关解，则方程的通解为 y=CM+.+Cnyn(Ck为任意常数) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

推论. 是 n 阶齐次方程 的 n 个线性无关解, 则方程的通解为 ( ) y = C1 y1 ++ Cn yn Ck为任意常数 机动 目录 上页 下页 返回 结束