《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第1章——第4节无穷小与无穷大

第一章 第四为 无穷小与无穷大 一、 无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

第一章 二、 无穷大 三 、 无穷小与无穷大的关系 一、 无穷小 第四节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 无穷小与无穷大

无穷小 定义1.若x→x时，函数f(x)→0 则称函数f(x)为x→x时的无穷小 若x→0时，函数f(x)→0 则称函数f(x)为x→∞时的无穷小 例如： 1im(x-1)=0,函数x-1当x→1时为无穷小 x→1 1im=0,函数当x→o时为无穷小 x→0X HIGH EDUCATION PRESS 机动目 绿上页下页返回结束

当 一、 无穷小 定义1 . 若 时 , 函数 则称函数 例如 : 函数 当 时为无穷小 函数 时为无穷小 x →  为 时的无穷小 . x →  机动 目录 上页 下页 返回 结束 若 时 , 函数 则称函数 为 时的无穷小

说明： 1、无穷小是个变量函数 2、无穷小是个过程量 3、零是无穷小中唯一的常数 HIGH EDUCATION PRESS

1、无穷小是个变量函数 说明： 2、无穷小是个过程量 3、零是无穷小中唯一的常数

定理1，（无穷小与函数极限的关系） limf(x)=A三f(x)=A+a,其中a为x>x。 x→X0 时的无穷小量 证：limf(x)=A x→X0 Ve>0,6>0,当0<x-x0<δ时有 |f(x)-A<ε a=f(x)-4 lim a =0 x→X0 对自变量的其它变化过程类似可证 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

其中 为 0 x → x 时的无穷小量 . 定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 ) f x A x x = → lim ( ) 0 f (x) = A +  , 证: f x A x x = → lim ( ) 0   0 ,   0 , 当  −   0 0 x x 时,有 f (x) − A    = f (x) − A lim 0 0 = →  x x 对自变量的其它变化过程类似可证 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、无穷大 定义2.若任给M>0,总存在δ>0 使对一切满足不等式0M 则称函数f(x)当x>x,时为无穷大 记作 lim f(x)=0. (注：仅是借用符号) x→X0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

二、 无穷大 定义2 . 若任给 M > 0 , 使对一切满足不等式 的 x 则称函数 当 时为无穷大, 记作 总存在 机动 目录 上页 下页 返回 结束 总有 （注：仅是借用符号）

注意： 1.无穷大不是很大的数，它是描述函数的一种状态 2.无穷大是没有极限的变量.但无极限的变量不 一 定是无穷大 3.无穷大一定无界.但无界不一定是无穷大 例如，函数f(x)=xc0sx,x∈(-，+0) f(2nπ)=2nπ-→0（当n→o)y1 但f(径+nπ)=0 所以x→0时，f(x)不是无穷大I HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

注意: 1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态. 3. 无穷大 一定无界 . 但无界不一定是无穷大 例如, 函数 当 但 所以 时 , 不是无穷大 ! 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 无穷大是没有极限的变量 . 但无极限的变量不 一定是无穷大

三、无穷小与无穷大的关系 定理2.在自变量的同一变化过程中， 若f(x)为无穷大，则1 为无穷小 f(x) 若为无小且：心，则 为无穷大 说明：据此定理，关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

三、无穷小与无穷大的关系 若 为无穷大, ( ) 1 f x 为无穷小 ; 若 为无穷小, 且 f ( x)  0 , 则 ( ) 1 f x 为无穷大. 则 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论. 定理2. 在自变量的同一变化过程中, 说明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

试确定常数a使1 im(1-x3-a,x)=0. 解：令1={则 0=期-1- 3f3-1-a l1im[/3-1-a]=0 故 -1-a=0 因此 a=-1 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

试确定常数 a 使 解 : 令 , 1 x t = 则   t a t t = − − → 3 3 0 1 0 lim 1 −1− a = 0 t t a t − − = → 3 3 0 1 lim lim  1  0 3 3 0  − − = → t a t 故 a = −1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 因此