《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第七章课件_第四节 一阶线性微分方程

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一阶线性微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四节 第七章

一、一阶线性微分方程 一阶线性微分方程标准形式： +P(x)y=C(x) dx 若Qx)≡0，称为齐次方程； 若Q(x)丰0，称为非齐次方程 1.先解齐次方程 dy+P(x)y=0 dx 分离变量 dy=-P(x)dx y 两边积分得 Iny=-∫P(x)dx+lnC 故通解为 y=Ce-JP(x)dx HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

一、一阶线性微分方程 一阶线性微分方程标准形式: ( ) ( ) d d P x y Q x x y + = 若 Q(x)  0, ( ) 0 d d + P x y = x y 若 Q(x)  0, 称为非齐次方程 . 1. 先解齐次方程 分离变量 两边积分得 ln y = − P(x)dx + ln C  故通解为 P x x y C e − ( )d = 称为齐次方程 ; 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2.再解非齐次方程 g+y=0 用常数变易法作变换(x)=ux)e/P(x)dx,则 u'e-JP(x)dx -pP2) du 即 = dx 两端积分得 u=∫gx)ddx+C 故原方程的通解y=e:[Q(x)eP0dx+C 即 y=Cee[(x)edx 齐次方程通解 非齐次方程特解 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

对应齐次方程通解 P x x y C e − ( )d = 齐次方程通解 非齐次方程特解  − P x x Ce ( ) d 2. 再解非齐次方程 ( ) ( ) d d P x y Q x x y + = 用常数变易法: ( ) ( ) , − ( ) d = P x x y x u x e 则  −  P x x u e ( ) d + P(x)  − P x x u e ( ) d = Q(x) 故原方程的通解 e Q x e x P x x P x x ( ) d ( ) d ( ) d    − +     = +    − y e Q x e x C P x x P x x ( ) d ( ) d ( ) d 即 y = 即 作变换  − − P x x P x u e ( ) d ( ) u Q x e x C P x x = +   ( ) d ( ) d 两端积分得 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.解方程 dy 2y =(x+1) dx x+1 解：先解 dy_2y =0,即 dy=2dx dx x+1 y x+l 积分得lny=2lnx+1+lnC,即y=C(x+1)2 用常数变易法求特解令y=u(x)(x+1),则 y=4(x+1)2+2u(x+1) 代入非齐次方程得=(x+1)2 解得 u=x+)2+C 故原方程通解为y=收+[+户+C HIGH EDUCATION PRESS 下页返回结束

例1. 解方程 解: 先解 0 , 1 2 d d = + − x y x y 即 1 d 2d + = x x y y 积分得 即 2 y = C(x +1) 用常数变易法求特解. 令 ( ) ( 1) , 2 y = u x  x + 则 ( 1) 2 ( 1) 2 y  = u   x + + u  x + 代入非齐次方程得 解得 u = x + 2 + C 3 ( 1) 3 2 故原方程通解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2x-y 1、可分离变量方程 2、齐次微分方程 3、一阶线性微分方程 dy sinx dx x x dy y X dx (exr-e*)dx+(e*+e")dy =O 6x3+3xy2 3x2y+2y3 HIGH EDUCATION PRESS

1、可分离变量方程 2、齐次微分方程 3、一阶线性微分方程