《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第七章课件_第五节 可降阶的高阶微分方程

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可降解的高阶微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五节 第四章

1、y)=fx)型的微分方程 问题引入：高阶导数 f(x)=x3 f'(x)=3x2 f"(x)=6x f"(x)=6 =g(x) 现在：已知f"(x)=6,求f(x)的通解 HIGH EDUCATION PRESS

问题引入： 高阶导数 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 6 6 f x x f x x f x x f x =  =  =  = 现在：已知 , 求 f (x) 的通解 =g x ( ) f x ( ) = 6 ( ) ( ) y f x n 1、 = 型的微分方程

y()f(x) ya-)=∫fw)dx+C y-2)[[f(x)dx+G]dx+C2 [[ff(x)dx ]dx +Cx+C2 依次通过n次积分，可得含n个任意常数的通解 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

  2 ( 2) y dx C n = +  −  dx  = 依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 . 1 C2 + C x + 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( ) ( ) y f x n =

例1.求解y"=e2x-cosx. 解：y”=j(e2x-cosx)ax+C1 -sinx+CH y=le2x+cosx+Cix+C2 y= e+nx+Cx2+C2x+C3 (此处G-9) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例1. 解: ( ) 1 2 y e cos x d x C x  = − +   1 2 sin 2 1 e x C x = − +  x y e 2 4 1  = x y e 2 8 1 = + sin x 2 1 + C x 2 C3 + C x + + cos x 1 C2 + C x + 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2、y”=(x,y）型的微分方程 设y'=p(x),则y”=p',原方程化为一阶方程 p'=f(x,p) 设其通解为 p=p(x,C) 则得 y'=p(x,C1) 再一次积分，得原方程的通解 y=∫p(x,C)dx+C2 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

y  = f (x, y ) 型的微分方程 设 y  = p (x) , 原方程化为一阶方程 设其通解为 ( , ) C1 p =  x 则得 ( , ) C1 y  =  x 再一次积分, 得原方程的通解 1 2 y =   (x,C )dx + C 2、 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.求解 [(1+x2)y"=2xy yx=0=1,yx=0=3 解：设y'=p(x),则y”=p',代入方程得 (1+x2)p'=2xp 分离变量 dp2xdx p (1+x2) 积分得lnp=ln(1+x2)+lnC,即p=C(1+x2) 利用yx=0=3,得C=3,于是有y=3(1+x2) 两端再积分得y=x3+3x+C2 利用yx=0=1,得C2=1,因此所求特解为 y=x3+3x+1 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例2. 求解 (1+ x )y  = 2xy  2 1, y x =0 = 3 y  x =0 = 解: 代入方程得 (1 x )p 2x p 2 +  = 分离变量 积分得 ln ln (1 ) ln , 1 2 p = + x + C 3 , 利用 y  x =0 = 3, 得 C1 = 于是有 3(1 ) 2 y  = + x 两端再积分得 2 3 y = x + 3 x + C 利用 1, y x =0 = 1, 得 C2 = 3 1 3 y = x + x + 因此所求特解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

3、y”=f(y,y）型的微分方程 令y=p),则y= dp-dp dy dx dy dx 故方程化为 dp.=f(y.p) p ay 设其通解为p=p(y,C1),即得 y'=e(y,C) 分离变量后积分，得原方程的通解 dy =x+C2 p(y,C) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

3、 y  = f ( y, y ) 型的微分方程 令 y  = p ( y), x p y d d 则  = x y y p d d d d =  故方程化为 设其通解为 ( , ), C1 p = y 即得 分离变量后积分, 得原方程的通解 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3.求解yy”-y2=0. 解：设y=p(0,则y'=业=dd业 dp dx dydx 代入方程得Pay -p2=0,即=y 两端积分得lnp=lny+lnC,即p=Cy, .y'=Cy(一阶线性齐次方程 故所求通解为 y=CzeCix HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例3. 求解 代入方程得 两端积分得 ln ln ln , C1 p = y + , 1 即 p = C y (一阶线性齐次方程) 故所求通解为 解: x p y d d 则  = x y y p d d d d = y p p d d = 机动 目录 上页 下页 返回 结束

-e2y=0 例.解初值问题 1 x=0=0,yx=0=1 解：令y=p0以则y=Pd nd卫代入方程得 pdp=e2r dy 积分得 p2=5e2+C 利用初始条件，得C1=0,根据py=0=yx=0=1>0,得 =p=ex dx 积分得 -ey=x+C2,再由yx=0=0,得C2=-1 故所求特解为 1-e-Y=x 考HIGH EDUCATION PRESS 机动目 下页返回结束

例. 解初值问题 解: 令    0 2  − = y y e 0 , y x =0 = 1 y  x =0 = y  = p ( y), , d d y p 则 y  = p 代入方程得 积分得 1 2 2 2 1 2 1 p e C y = + 利用初始条件, 1 0, 0, p y=0 =y  x=0 =  得C1 = 根据 y p e x y = = d d 积分得 , C2 e x y − = + − 0, 再由y x=0 = 1 得C2 = − 故所求特解为 e x y − = − 1 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束