《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第九章_D9_4复合求导

第四节 第九章 多无复合断数的求导法则 元复合函数 y口f(4),u□口(x) 求导法则 dydy du dx du dx 微分法则dy口fG)du口fQ)☐(x)dx 本节内容： 一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分 HIGH EDUCATION PRESS

第四节 一元复合函数 求导法则 本节内容: 一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分 微分法则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元复合函数的求导法则 第九章

一、多元复合函数求导的链式法则 定理.若函数u口☐(t),v☐☐(t)在点t可导，z口f(u,v) 在点(u,v)处偏导连续，则复合函数z口f(口(t),口(t) 在点t可导，且有链式法则测 dt u dt 证：设t取增量△t,则相应中间变量 有增量△u,△v, z口4o兰v0o(O)(0口(0)2(02) HIGH EDUCATION PRESS 目录

一、多元复合函数求导的链式法则 定理. 若函数 处偏导连续, 在点 t 可导, 则复合函数 证: 设 t 取增量△t , 则相应中间变量 且有链式法则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 有增量△u ,△v

(0口V()2☐（☐）2) u☐t Gy□t 令□t口0，则有u口0，v口0， Cu du dv □t dt dt (□ (□ ▣0 ▣t (△t<0时，根式前加_”号 dz du dv (全导数公式) dt dt dt HIGH EDUCATION PRESS 结

( 全导数公式 ) (△t＜0 时,根式前加“–”号 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

推广：设下面所涉及的函数都可微 1)中间变量多于两个的情形.例如，z口f(u,y,w, u☐☐(t),v☐□(t),w☐☐(t) dz du dw dt u dt Cy dt □wdt 口四四f四f3四 2)中间变量是多元函数的情形.例如， z▣f(u,),u□▣(x,y),v□☐(x,y) 口f四f测 c x y x 口工f u HIGH EDUCATION PRESS

推广: 1) 中间变量多于两个的情形. 例如, 设下面所涉及的函数都可微 . 2) 中间变量是多元函数的情形.例如, 机动 目录 上页 下页 返回 结束

又如，z☐f(x,v),y☐☐(x,y) 当它们都具有可微条件时，有 口ff201 G 2 口f202 注意：这里 名与不同， 表示固定y对x求导 表示固定v对x求导 口诀：分段用乘，分叉用加，单路全导，叉路偏导 HIGH EDUCATION PRESS 凯动 下页 返回 结球

又如, 当它们都具有可微条件时, 有 注意: 这里 表示固定 y 对 x 求导, 表示固定 v 对 x 求导 口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导 与 不同, 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.设z☐e“sinv,u□xy,v□x口y,求 Cx'Cy 解长品长侣 ☐e“sinv☐e”cosv ☐ey[ysin(xDy)☐cos(xDy)] 号哈号号 □e"sinv☐e"cosv I 口ey[xsin(xOy)☐cos(x口y)] HIGH EDUCATION PRESS 返▣结束

例1. 设 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.u□/(x,八，2）)加eyz,z口x2siny,求 u Eu x’y 《昭 解 2xeo2z2ze产yE2xsny x(12x2sin2y)e 2vezecosy 2(xsin ycosy)sin2 HIGH EDUCATION PRESS 返回 结

例2. 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3.设z☐uy☐sint,u☐e,v☐cost,求全导数 d 解 d业巴业 d ￥u di dtG ▣ve□sint☐cost ☐e(cost☐sint)☐cost 注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到，下列两个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号 HIGH EDUCATION PRESS

例3. 设 求全导数 解: 注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 机动 目录 上页 下页 返回 结束 验证解的问题中经常遇到, 下列两个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号

例4.设w口f(x口y口z,xyz),f具有二阶连续偏导数， 求p子w w,f2 Cx' 解：令u山Uy Uz,v Uxyz,则 w☐f(u,y) x y Zx y Z x 四口f2 口f1xDy口z,xyz）□yzf(x口y口z,xyz) ■xz 口fP☐口f2xy口yf口yz[fPu口f22xy] 口f四(x口z)f☐xyzf22口yf2 HIGH EDUCATION PRESS 返回 结

为简便起见 , 引入记号 例4. 设 f 具有二阶连续偏导数, 求 解: 令 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、多元复合函数的全微分 设函数z口f(u,y),u☐(x,y),v☐☐(x,y)都可微， 则复合函数z口f(口(x,y),口(x,y)的全微分为 dzdx dy 0( y dx[ -dv du 可见无论，v是自变量还是中间变量，其全微分表达 形式都一样，这性质叫做全微分形式不变性， 卷HIGH EDUCATION PRESS

二、多元复合函数的全微分 设函数 的全微分为 可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, 则复合函数 都可微, 其全微分表达 形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性. 机动 目录 上页 下页 返回 结束