《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第九章_D9_8极值与最值

第节 第九章 李元品款的教值及其球法 一、多元函数的极值 二、最值应用问题 三、条件极值 HIGH EDUCATION PRESS 机动 返回 结味

第八节 第九章 一、多元函数的极值 二、最值应用问题 三、条件极值 机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元函数的极值及其求法

一、多元函数的极值 定义：若函数z口f(x,y)在点(xo,yo)的某邻域内有 f(x,y)☐f(xo,yo)(或f(x,y)☐f(xo,yo) 则称函数在该点取得极大值（极小值）.极大值和极小值 统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点 例如： z口3x2☐4y2在点0,0)有极小值， 在点(0,0)有极大值， Z xy 在点(0,0)无极值 HIGH EDUCATION PRESS 机动 回结束

一、 多元函数的极值 定义: 若函数 则称函数在该点取得极大值(极小值). 例如 : 在点 (0,0) 有极小值; 在点 (0,0) 有极大值; 在点 (0,0) 无极值. 极大值和极小值 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 的某邻域内有 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理1（必要条件）函数z口f(x,y)在点(x0,yo)存在 偏导数，且在该点取得极值，则有 f(x0,yo)☐0，f(x0,yo)☐0 证：因z口f(xy)在点(x,yo)取得极值，故 z口f(x,yo)在x口xo取得极值 z口f(xo,y)在y口y,取得极值 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立 说明：使偏导数都为0的点称为驻点 但驻点不一定是极值点」 例如，z山xy有驻点(0,0)，但在该点不取极值 HIGH EDUCATION PRESS 机动 返回 结束

说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 . 例如, 定理1 (必要条件) 函数 偏导数, 证: 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立. 取得极值 , 取得极值 取得极值 但驻点不一定是极值点. 有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值. 且在该点取得极值 , 则有 存在 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理2（充分条件）若函数z口f(x,y)在点(x0,y0)的 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数，且 fx(x0,0)☐0，f(x0,o)☐0 令A口fxx(x0,yo),B口fxy(x0,yo),C口fyy(xo,yo) A<0时取极大值， 则：1)当AC□B2口0时，具有极值 A0时取极小值 2)当AC口B2☐0时，没有极值. 3)当AC口B2☐0时，不能确定，需另行讨论， 证明见第九节 HIGH EDUCATION PRESS 回结束

时, 具有极值 定理2 (充分条件) 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且 令 则: 1) 当 A0 时取极小值. 2) 当 3) 当 证明见 第九节 . 时, 没有极值. 时, 不能确定 , 需另行讨论. 若函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.求函数f(x,y)口x3☐y3☐3x2口3y2☐9x的极值 解：第一步求驻点： fx(xy)E3x2☐6xO9■0 解方程组 lf,(x,y)C☐3y2□6y☐0 得驻点：(1,0)，(1,2)，(-3,0)，(-3,2) 第二步判别.求二阶偏导数 B f(x,y)☐6x6,/(x,y)口0，fy(x,y)□6y口6 在点(1,0)处A☐12，B口0，C☐6， AC☐B2☐12☐6☐0，A□0， 口f(1,0)口口5为极小值； HIGH EDUCATION PRESS 机动 返回

例1. 求函数 解: 第一步 求驻点. 得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) . 第二步 判别. 在点(1,0) 处 为极小值; 解方程组 的极值. 求二阶偏导数 机动 目录 上页 下页 返回 结束

在点(1,2)处A☐12，B☐0，C☐6 AC☐B2口12画(6)□0，口f(1,2)不是极值； 在点（口3,0）处4口▣2，B口0，C口6， AC☐B2口12☐6口0，口f(3,0)不是极值： 在点（▣3,2）处4口☐2，B口0，C口6 ACB20☐12☐(6)☐0，A□0， 口f(CB,2)口31为极大值： fxx(x,y)☐6x☐6，fx(x,y)■0，f(x,y)☐6y☐6 A B HIGH EDUCATION PRESS 机动目录 返回结束

在点(￾ 3,0) 处 不是极值; 在点(￾ 3,2) 处 为极大值. 在点(1,2) 处 不是极值; 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、最值应用问题 依据 函数f在闭域上连续 函数f在闭域上可达到最值 驻点 最值可疑点 边界上的最值点 特别，当区域内部最值存在，且只有一个极值点P时， f(P)为极小（大）值>f(P)为最小（大）值 HIGH EDUCATION PRESS 反回

二、最值应用问题 函数 f 在闭域上连续 函数 f 在闭域上可达到最值 最值可疑点 驻点 边界上的最值点 特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时, 为极小( 大) 值 为最小 (大)值 依据 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3.某厂要用铁板做一个体积为2m的有盖长方体水箱 问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？ 解：设水箱长，宽分别为x,ym,则高为忌m, 则水箱所用材料的面积为 A2wyv号x号In2yrI0 「A■2(0y03)0 得驻点(32,2) A,口2(x03)☐0 根据实际问题可知最小值在定义域内应存在，因此可 断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为32 高为22 32时，水箱所用材料最省 HIGH EDUCATION PRESS 机动 返▣结束

例3. 解: 设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为 则水箱所用材料的面积为 令 得驻点 某厂要用铁板做一个体积为2 根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 的有盖长方体水箱 问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省? 因此可 断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为 高为 时, 水箱所用材料最省. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例4.有一宽为24cm的长方形铁板，把它折起来做成 一个断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断面面 积最大 解：设折起来的边长为xcm,倾角为口，则断面面积 为 C(242x2xc 22)sin ☐24xsin☐☐2x2sin☐☐x2cos☐sind (D:00x□12,000□2〉 24 24☐2x HIGH EDUCATION PRESS 机动 下员 返回 结

例4. 有一宽为 24cm 的长方形铁板 , 把它折起来做成 解: 设折起来的边长为 x cm, 则断面面积 x 24 一个断面为等腰梯形的水槽, 倾角为￾ , 积最大. 为 问怎样折法才能使断面面 机动 目录 上页 下页 返回 结束

A口24xsin0□2x2sin▣□x2cos☐sin☐ (D:0□x□12,0□▣□号) Ax24sin☐☐4xsin0☐2xsin0cos0☐0 AL24xcos口□2x2cos0口x2(cos20☐sin2o)☐0 sin口口0，x☐0 12☐2x0xcos▣口0 24cos002xcos☐☐x(cos2u☐sim2O)☐0 解得： ☐60，x☐8(cm) 由题意知，最大值在定义域D内达到，而在域D内只有 个驻点，故此点即为所求. HIGH EDUCATION PRESS 机动 、返回结束

令 解得: 由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有 一个驻点, 故此点即为所求. 机动 目录 上页 下页 返回 结束