《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第八章_8-2数量积、向量积、混合积

第二节 第八章 数量积向量积*混合积 一、两向量的数量积 二、两向量的向量积 *三、向量的混合积 HIGH EDUCATION PRESS 机动 返回 结束

*三、向量的混合积 第二节 一、两向量的数量积 二、两向量的向量积 机动 目录 上页 下页 返回 结束 数量积 向量积 *混合积 第八章

一、两向量的数量积 引例.设一物体在常力F作用下，沿与力夹角为☐ 的直线移动，位移为了，则力F所做的功为 WcF|scos口 1.定义 设向量a,b的夹角为口称 M S M, 记作 ab W口F 为ā与b的数量积（点积） HIGH EDUCATION PRESS 返回结束

一、两向量的数量积 沿与力夹角为 的直线移动, 1. 定义 设向量 的夹角为￾ 称, 记作 数量积 (点积) . 引例. 设一物体在常力 F 作用下, 位移为 s , 则力F 所做的功为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

当a口0时，b在a上的投影为 |cos记作Pri万 故 a五abcos0=a Priab 同理，当b口0时， abPrjpa 2.性质 ao,0 ①aca 则ab口0 (2)a,b为两个非零向量，则有 ab☐0三a0b HIGH EDUCATION PRESS 机动

记作 故 2. 性质 为两个非零向量, 则有 ￾ 机动 目录 上页 下页 返回 结束 =

3.运算律 (1)交换律ab□6五 (2)结合律（口，▣为实数） (0a)bLa(☐b口〖ab) b) (Ca)(0b)口oa(ob)I 口▣口(ab) Prjna Prjb (3)分配律团口b正口G正Cb正 Prj(aB) 事实上，当口0时，显然成立，当c口0时 adb口cPrj,.atb[回Priga OPrjb ☐c Prjca□e Pripb uad bd HIGH EDUCATION PRESS

3. 运算律 (1) 交换律 (2) 结合律 (3) 分配律 事实上, 当 时, 显然成立 ; 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.证明三角形余弦定理 c2☐a2☐b2☐2 ab cos 证：如图.设 CB□a,CA□b,ABc 则 c Oa Ob c2(反g)aab方加2a方 202cos a0a,bgb,cd c2□a2☐b2☐2 ab cos[ HIGH EDUCATION PRESS 机动 返回 结束

例1. 证明三角形余弦定理 证: 则 如图 . 设 机动 目录 上页 下页 返回 结束

4. 数量积的坐标表示 设a0a,ida,j0a.k,bobi0b,jbk,则 aE(a,Tay Ja,)((b,Tby JCb.k) i而j可ok五a1,行jkk0 a baxb.da,b,□a:b 两向量的夹角公式 当a,b为非零向量时，由于bcos口，得 a[b ab□a,b,□ab cos☐ a b VaIa2a2Vb☐btb HIGH EDUCATION PRESS

4. 数量积的坐标表示 设 则 当 为非零向量时, 由于 两向量的夹角公式 , 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.已知三点M(1,1,1),A(2,2,1),B(2,1,2),求 ▣AMB. 解：MA☐(1,1,0)，MB口(1,0,1) 则 CoS☐AMBC MA MB MAMB 1C0■0 22 故 AMB HIGH EDUCATION PRESS 机动 下页 返回结束

例2. 已知三点 ￾ AMB . 解: 则 求 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3.设均匀流速为市的流体流过一个面积为A的平 面域，且下与该平面域的单位垂直向量的夹角为口 求单位时间内流过该平面域的流体的质量P(流体密度 为口) 解：P EUAcosi口 n为单位向量 ▣☐Ayn 单位时间内流过的体积 4cos[口 HIGH EDUCATION PRESS 机动 这回结束

为 ￾ ) . 求单位时间内流过该平面域的流体的质量P (流体密度 例3. 设均匀流速为 的流体流过一个面积为 A 的平 面域 , 与该平面域的单位垂直向量 解: 单位时间内流过的体积 且 的夹角为 为单位向量 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、两向量的向量积 引例.设O为杠杆L的支点，有一个与杠杆夹角为口 的力F作用在杠杆的P点上，则力F作用在杠杆上的力 矩是一个向量M M□oeFsin OP口F口符合右手规则 M口OP MOF 00OP sin M HIGH EDUCATION PRESS 机动 回

二、两向量的向量积 引例. 设O 为杠杆L 的支点 , 有一个与杠杆夹角为 符合右手规则 矩是一个向量 M : 的力 F 作用在杠杆的 P点上 , 则力 F 作用在杠杆上的力 机动 目录 上页 下页 返回 结束

1.定义 设a,b的夹角为☐，定义 方向：c如a,c□b且符合右手规则 向量c 模：easin 称c为向量a与b的向量积，记作 cab(叉积) 引例中的力矩M口OP口F Da Ob 思考：右图三角形面积 S= ab HIGH EDUCATION PRESS 回结束

1. 定义 定义 向量 方向 : (叉积) 记作 且符合右手规则 模 : 向量积 , ￾ ￾ 称 引例中的力矩 思考: 右图三角形面积 S＝ 机动 目录 上页 下页 返回 结束