《数学分析》课程教学课件（PPT讲稿）具有某些特性的函数

§4具有某些特性的函数 本节将着重讨论函数的有界性、单 调性、奇偶性与周期性. 一、有界函数 二、单调函数 三、奇函数与偶函数 四、周期函数 前页 后页 返回

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一、有界函数 定义1设定义在D上. 若]M∈R,x∈D,f(x)≤M,则称f在D上有上界； 若L∈R,x∈D,fx)≥L,则称f在D上有下界， 若M∈R,x∈D,fx)≤M,则称f在D上有界. 易证f在D上有界一f在D上既有上界又有下界 若VM∈R,3x∈D,fx)>M,则称f在D上无上 界； 前页 后页 返回

前页 后页 返回 一、有界函数 定义1 设 f 定义在D上. 若 则称 在 上有上界；      M x D f x M f D R, , ( ) , 若 则称 在 上有下界；      L x D f x L f D R, , ( ) , 若 则称 在 上有界      M x D f x M f D R, , ( ) , . 易证 f 在D上有界  f 在D上既有上界又有下界. 若 则称 在 上无上      M x D f x M f D R, , ( ) , 0 0 界；

若VL∈R,x∈D,fx)M,则称f在D上无界. 例1求证：fx)=tanx在0，)上无上界，有下界。 证L=0,则c∈0,2)，f)≥L,因此f在 [0,)上有下界.VM∈R,令x,=arctan(M+l), 则xe0,且tanx=M+1>M,因此f在 I0,2)上无上界 前页 边

前页 后页 返回 若 则称 在 上无界      M x D f x M f D R, , ( ) , . 0 0 π : ( ) tan [0, ) , . 2 例1 求证 f x x = 在 上无上界 有下界 π [0, ) . 2 上有下界   = + M x M R, arctan( 1), 令 0 π [0, ) . 2 上无上界 π 0 [0, ), ( ) , 2 证 L x f x L =    ，则 因此 f 在 0 0 π [0, ), tan 1 , 2 则 x x M M  = +  且 因此 f 在 若     L x D f x L f D R, , ( ) , 0 0 则称 在 上无下界；

例2设函数f(x),g(x)是D上的正值有界函数. 求证：sup{f(x)g(x)}≤sup{f(x)sup{g(x). x∈D x∈D X∈D 证x∈D,f(x)≤sup{f(x)}, g()≤sup{8(x)}, 因此f(x)g(x)≤sup{f(x)}suP{g(x)}, 由x的任意性，可知sup{f(x)}sup{g(x)} 是{f(x)g(x)的一个上界， 因此sup{f(x)g(x)}≤sup{f(x)}sup{g(x)》. XED XED x∈D 前页 返回

前页 后页 返回 g(x)  sup{g(x)}, 因此 f x g x f x g x ( ) ( ) sup{ ( )}sup{ ( )},  由 x f x g x 的任意性, sup{ ( )}sup{ ( )} 可知 是{ f (x)g(x)}的一个上界, sup{ f (x)g(x)} sup{ f (x)}sup{g(x)}. xD xD xD 因此  证    x D f x f x , ( ) sup{ ( )}, : sup{ f (x)g(x)} sup{ f (x)}sup{g(x)}. xD xD xD 求证  例2 设函数 f x g x D ( ), ( ) . 是 上的正值有界函数

例3设f(x),g(x)在D上有界，证明： inf{f(x)+g(x))0,3x∈D,f(xo)<inf{f(x)}+&. 又g(xn)≤sup{g(x)},故 XED f(xo)+g(xo)<inf{f(x))+supig(x)+8. x∈D 因此 ife)+g(x}≤fx)+gx) inf{f (x))+sup(g(x)). x∈D x∈D 前页

前页 后页 返回 例3 设 f x g x D ( ), ( ) 在 上有界,证明: inf{ ( ) ( )} inf{ ( )} sup{ ( )}. x D x D x D f x g x f x g x    +  + 证 0 0 0, , ( ) inf{ ( )} . x D   x D f x f x       + 0 ( ) sup{ ( )}, x D g x g x  又  故 0 0 ( ) ( ) inf{ ( )} sup{ ( )} . x D x D f x g x f x g x    +  + + 因此 0 0 inf{ ( ) ( )} ( ) ( ) x D f x g x f x g x  +  + inf{ ( )} sup{ ( )}. x D x D f x g x    +

二、单调函数 定义2设f是定义在D上的函数 若Vx1,x2∈D,当x1f(x2)时，称f为严格减函数. 前 返回

前页 后页 返回 二、单调函数    1 2 1 2 若 x x D x x , , , 当 时 (i) ( ) ( ), 有 f x f x f D 1 2  则称 为 上的增函数; 特别有 f x f x f ( ) ( ) , . 1 2  时 称 为严格增函数 (ii) ( ) ( ), 有 f x f x f D 1 2  则称 为 上的减函数; 特别有 f x f x f ( ) ( ) , . 1 2  时 称 为严格减函数 定义2 设 f 是定义在 D上的函数

不难知道，若f(x)和g(x)是正值严格增的，则 f(x)g(x)也是正值严格增的. 例4任意n∈N,2m1=x2m-在R上严格增； 2m=x2"在R+上严格增，在R上严格减. 证由y,=x在R,上为正值严格增，可知y2=yy 在R上亦正值严格增.由归纳法，若已证yn在R 上为正值严格增，可知y+1=yyn在R,上亦正值 严格增. 前顶

前页 后页 返回 证 由 y x y y y 1 + 2 1 1 = = 在 R 上为正值严格增,可知 不难知道,若 f x g x ( ) ( ) 和 是正值严格增的,则 f x g x ( ) ( ) 也是正值严格增的. 例4 2 1 N , R 2 1 n n y x n − 任意  = + − 在 上严格增; 2 2 + R R n n y x 在 上严格增,在 上严格减. = − 上为正值严格增,可知 y y y n n +1 1 + = 在 R 上亦正值 在 R+ 上亦正值严格增. 由归纳法,若已证 n R+ y 在 严格增

若x1x2m.这就证明了2n在R 上严格减，而y2m1在R上严格增。 若x1≤0<x或x<0≤x2,则 xm≤0<xm-或x2m<0≤x-, 这证明了y21在R上严格增。 前页 返回

前页 后页 返回 1 2 2 1 若 x x x x    −  − 0, 0 , 则 于是 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) , ( ) ( ) , n n n n x x x x − − −  − −  − 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 , R n n n n n 即 x x x x y .这就证明了 在 − − −   上严格减,而 y2 1 n 在 R 上严格增. − − 1 2 1 2 若 x x x x     0 0 , 或 则 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 0 0 n n n n x x x x − − − −     或 ， 这证明了 y2 1 n− 在 R 上严格增

例5易证函数y=x]在R上是增函数，但非严格 增 3 2 -10 2 34 前顶 后页 返回

前页 后页 返回 例5 易证函数 y x = [ ] R , 在 上是增函数 但非严格 增. x y O 1 1 −1 −1 2 2 −2 −2 3 4 3

定理1.2设y=f(x),x∈D为严格增函数，则f必 有反函数f一，且f在其定义域f(D)上也是严格 增函数 类似地，严格减函数f必有反函数f,且f一在其 定义域上也是严格减函数 证设f在D上严格增，则y∈f(D)只有一个 x∈D,使f(x)=y. 事实上，若3x,<x,使(x)=y=f(c2),则与∫ 前页 返回

前页 后页 返回 有反函数 f −1 ,且 f −1在其定义域 f (D)上也是严格 增函数. 定理1.2 设 y f x x D f =  ( ), , 为严格增函数 则 必 1 1 , , f f f 类似地 严格减函数 必有反函数 − − 且 在其 定义域上也是严格减函数. x D f x y  = , ( ) . 使 证 设 f D y f D 在 上严格增, ( ) 则   只有一个 1 2 1 2 事实上,若 使   = = x x f x y f x , ( ) ( ), 则与 f